[論文レビュー] Extremal distributions for tail probabilities of sums of iid random variables on [0,1]

Ludolf Erwin Meester|ArXiv.org|Aug 12, 2008

Probability and Risk Models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平均 m を固定した i.i.d. [0,1] 値をとる確率変数の和 $S_n$ の尾確率 $\mathbb{P}(S_n \leq t)$ を最大化する極値分布に関する、長年の2つの予想を解決する。ラグランジュ乗数法を用いて極値性の必要条件を導出し、$n=2$ の場合を完全に解明した。極値分布は、高々3つの台を持つ離散分布であることが示され、元の予想は反証され、一般の $n$ に対する修正された予想が提示された。その予想では、極値分布は有限個の2点および3点分布からなる族に属するものである。

ABSTRACT

Two old conjectures from problem sections, one of which from SIAM Review, concern the question of finding distributions that maximize P(Sn <= t), where Sn is the sum of i.i.d. random variables X1, ..., Xn on the interval [0,1], satisfying E[X1]=m. In this paper a Lagrange multiplier technique is applied to this problem, yielding necessary conditions for distributions to be extremal, for arbitrary n. For n=2, a complete solution is derived from them: extremal distributions are discrete and have one of the following supports, depending on m and t: {0,t}, {t-1,1}, {t/2,1}, or {0,t,1}. These results suffice to refute both conjectures. However, acquired insight naturally leads to a revised conjecture: that extremal distributions always have at most three support points and belong to a (for each n, specified) finite collection of two and three point distributions.

研究の動機と目的

• SIAM Review および Statistica Neerlandica に掲載された、平均 $m$ を固定した i.i.d. [0,1] 値をとる確率変数の和 $S_n$ に対して $\mathbb{P}(S_n \leq t)$ を最大化する分布に関する未解決の2つの予想を解消すること。
• 固定された $t < mn$ に対して、$p(m,t) = \sup_{\mu \in \mathcal{D}_m} \mathbb{P}_\mu(S_n \leq t)$ を達成する極値分布を同定すること。
• 一般の $n$ 変数の場合に、極値性の必要条件を導出するための一般的な手法をラグランジュ乗数法を用いて開発すること。
• $n=2$ の場合に、極値分布が2つ以上の台を持つ反例を明示的に構成することで、元の予想を反証すること。
• 任意の $n$ に対して、極値分布が高々3つの台を持つこと、かつそれらが明示的に定義された有限個の2点および3点分布の族に属するという修正された予想を提示すること。

提案手法

• Mattner (2007) が提示したラグランジュ乗数法を応用し、平均制約 $\mathbb{E}[X_1] = m$ の下で $\mathbb{P}(S_n \leq t)$ を最大化する分布 $\mu$ が極値であるための必要条件を導出する。
• 弱*-コンパクト性および弱*-連続性を用いて、$[0,1]$ 上の平均 $m$ を持つ確率測度の集合 $\mathcal{D}_m$ に極値分布が存在することを保証する。
• $n=2$ の場合、ラグランジュ条件に基づき、極値分布の台が $\{s, t-s\}$ または $\{s, t-s, 1\}$ の形を取ることを示し、探索空間を縮小する。
• 2点分布 $\{a,b\}$ の確率を、平均制約を満たし、二項尾確率 $b(n,\pi,j)$ を最大化するように解くことにより、明示的な公式を導出する。ここで $\pi$ は成功確率を表す。
• 3点分布 $\{0,a,1\}$ に対して、ラグランジュの線形性条件 $ (1-a)\mathbb{P}(t-a < S_{n-1} \leq t) = a\mathbb{P}(t-1 < S_{n-1} \leq t-a) $ を適用し、確率に関する多項方程式を導出する。
• 有限個の候補となる極値分布の族を構成する：高々 $n$ 個の2点分布と高々 $\binom{n}{2}$ 個の3点分布からなり、それらの中から尾確率を比較して最適なものを選ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SIAM Review 問題 86-6 で提唱されたように、平均 $m$ を持つ i.i.d. [0,1] 値をとる確率変数の和 $S_n$ に対して $\mathbb{P}(S_n \leq t)$ を最大化する分布は、常に0または1を含む2点台を持つものか？
• RQ2 Statistica Neerlandica 問題 294 で主張されているように、$\mathbb{P}(X=1) = m$ のベルヌーイ分布が $\mathbb{P}(S_n \leq t)$ を常に最適化するか？
• RQ3 $n=2$ の場合、平均制約 $\mathbb{E}[X_1] = m$ の下で $\mathbb{P}(S_2 \leq t)$ を最大化する極値分布の正確な形は何か？
• RQ4 一般の $n$ に対して、極値分布が高々3つの台を持つことが示せるか？ もしそうならば、各 $n$ に対してそれらを明示的に列挙できるか？
• RQ5 任意の $n$, $m$, $t$ に対して、極値分布を含む有限で計算可能な2点および3点分布の候補族が存在するか？

主な発見

• $n=2$ の場合、極値分布は常に離散的であり、$m$ と $t$ に応じて以下の4つの台のいずれかを取る：$\{0,t\}$, $\{t-1,1\}$, $\{t/2,1\}$, または $\{0,t,1\}$。これは両方の元の予想を反証する。
• 元の SIAM Review 予想は反証された：$m$ と $t$ のある値に対して、極値分布が3つの台 $\{0,t,1\}$ を持つ例が存在し、2点分布に還元できない。
• Statistica Neerlandica 予想についても反証された：任意の $p_0 < 1$ に対して、$n$, $t$, $m$ を適切に選べば、二項確率 $b(n,m,t)$ が上界 $p_n(m,t)$ よりも厳密に小さくなる例が存在する。ただし $p_n(m,t) \leq p_0$ であっても同様である。
• 修正された予想を提示する：任意の $n$ に対して、極値分布は高々 $n$ 個の2点分布と高々 $\binom{n}{2}$ 個の3点分布 $\{0,a,1\}$ からなる有限族に属する。ここで $a = (t-l)/k$ であり、整数 $k,l$ が $0 \leq l < t < l+k \leq n-1$ を満たす。
• 有限族に属する各候補分布に対して、平均制約とラグランジュ線形性条件を組み合わせた方程式系を解くことで最適確率が特定され、その結果として成功確率 $p = \mathbb{P}(X=1)$ に関する $n-1$ 次多項方程式が得られる。
• 本稿では $n=2$ の場合の極値分布を完全に特徴づけ、上界 $p(m,t)$ が指定された4つの離散分布のいずれかによって達成されることを示した。最適選択は、対応する二項尾確率を比較することで得られる。