[論文レビュー] Extremal Functions for Singular Moser-Trudinger Embeddings

Stefano Iula, Gabriele Mancini|edoc (University of Basel)|Jan 1, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、単位円板上における $|x|^{2eta}$ 形式の特異的ポテンシャルを伴う鋭鋭いモーザー＝トゥルデイガー不等式を確立し、オンォフリの不等式を用いて鋭い定数 $4\pi(1+\alpha)$ が得られることを証明している。特異的計量および円錐的表面への一般化により、このような埋め込みにおける極値関数の存在を、精密な推定による集中の排除によって拡張している。

ABSTRACT

We study Moser-Trudinger type functionals in the presence of singular potentials. In particular we propose a proof of a singular Carleson-Chang type estimate by means of Onofri's inequality for the unit disk in $\mathbb{R}^2$. Moreover we consider Adimurthi-Druet type functionals on compact surfaces with conical singularities and discuss the existence of extremals for such functionals extending previous results by Castò and Roy.

研究の動機と目的

• 特異的ポテンシャル、特に $\alpha \in (-1,0]$ の $|x|^{2\alpha}$ を伴う状況下で鋭い特異的モーザー＝トゥルデイガー不等式を確立すること。
• 単位円板上の特異的計量に、古典的な Carleson-Chang および Adimurthi-Druet 不等式を一般化すること。
• 円錐特異性を有するコンactな曲面上における特異的モーザー＝トゥルデイガー埋め込みの極値関数の存在を証明すること。
• 濃縮-コンパクト性を用いるのではなく、Onofriの不等式を用いて鋭い定数 $4\pi(1+\alpha)$ の簡略化された証明を提供すること。

提案手法

• 径対称性および変数変換を用いて問題を変換し、単位円板上における特異的オンォフリ型不等式を導出すること。
• 単位円板上におけるOnofriの不等式を基盤的道具として用い、鋭い特異的モーザー＝トゥルデイガー埋め込みを導出すること。
• 対称的再配分を適用して一般領域を径対称関数に還元し、単位円板の場合との比較を可能にすること。
• 特異的オンォフリ不等式における定数の鋭さを示すために、$H^1_{0,rad}(D)$ 内のテスト関数列 $u_\varepsilon$ を構成すること。
• 濃縮-コンパクト性原理および濃縮推定式 (13) を用いて、最大化列における集中を除外すること。
• コンformal変換を介して特異的計量上の円板問題と関連付けることにより、結果を円錐特異性を有するコンパクト曲面へ拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板上における $|x|^{2\alpha}$ ポテンシャルを伴う特異的モーザー＝トゥルデイガー不等式の鋭い定数は何か、$\alpha \in (-1,0]$ の場合に。
• RQ2 濃縮-コンパクト性を用いる代わりに、Onofriの不等式を用いて特異的モーザー＝トゥルデイガー埋め込みの極値関数の存在を確立できるか。
• RQ3 特異的埋め込みにおける鋭い定数は、特異性の強さ $\alpha$ にどのように依存するか。
• RQ4 標準的なモーザー＝トゥルデイガー不等式の古典的極値関数結果は、円錐特異性を有する曲面へ拡張可能か。
• RQ5 一般領域における濃縮推定におけるロビン関数の役割は何か。また、特異的計量へ一般化されるか。

主な発見

• 単位円板上における $|x|^{2\alpha}$ ポテンシャルを伴う特異的モーザー＝トゥルデイガー不等式の鋭い定数は $4\pi(1+\alpha)$ であり、これが最適である。
• すべての $u \in H^1_0(D)$ および $\alpha \in (-1,0]$ に対して、不等式 $\log\left(\frac{1+\alpha}{\pi}\int_D |x|^{2\alpha} e^u dx\right) \leq \frac{1}{16\pi(1+\alpha)} \int_D |\nabla u|^2 dx + 1$ が成り立ち、鋭い定数は 1 である。
• 集中を除外する推定式 $\limsup_{n\to\infty} \int_D |x|^{2\alpha} e^{4\pi(1+\alpha)u_n^2} dx \leq \frac{\pi(1+e)}{1+\alpha}$ を用いて、特異的モーザー＝トゥルデイガー埋め込みにおける極値関数の存在が証明された。
• 特異的オンォフリ不等式における定数 1 は鋭い。これは、関数の差が $-1$ に近づくような列 $u_\varepsilon$ を構成することで示された。
• 結果は、特異的ディスクへの conformal 写像を用いて、円錐特異性を有するコンパクト曲面へ拡張可能であり、鋭い定数および極値関数の存在が保たれる。
• 本手法は、複雑な再配分の議論を避けることで、Onofriの不等式を用いた特異的 Carleson-Chang 型推定の新しい、簡略化された証明を提供する。