[論文レビュー] Extremal functions for the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$におけるAdimurthi--Druet型のMoser--Trudinger不等式に対する極値関数の存在および非存在を確立し、$N \geq 3$ または $N=2$ の場合に特定の $\beta$-範囲内では臨界的でない場合に達成可能性を証明している。また、$\alpha$ が小さい臨界的場合にも達成可能である。さらに、$MT(N,\beta_N,1) = \infty$ を示し、爆発解析とMoser系列のスケーリングを用いて、非有界領域における極値関数の挙動に関する未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We study the existence and nonexistence of maximizers for variational problem concerning to the Moser--Trudinger inequality of Adimurthi--Druet type in $W^{1,N}(\mathbb R^N)$ \[ MT(N,β, α) =\sup_{u\in W^{1,N}(\mathbb R^N), \| abla u\|_N^N + \|u\|_N^N\leq 1} \int_{\mathbb R^N} Φ_N(β(1+α\|u\|_N^N)^{\frac1{N-1}} |u|^{\frac N{N-1}}) dx, \] where $Φ_N(t) =e^{t} -\sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$, $0\leq α< 1$ both in the subcritical case $β< β_N$ and critical case $β=β_N$ with $β_N = N ω_{N-1}^{\frac1{N-1}}$ and $ω_{N-1}$ denotes the surface area of the unit sphere in $\mathbb R^N$. We will show that $MT(N,β,α)$ is attained in the subcritical case if $N\geq 3$ or $N=2$ and $β\in (\frac{2(1+2α)}{(1+α)^2 B_2},β_2)$ with $B_2$ is the best constant in a Gagliardo--Nirenberg inequality in $W^{1,2}(\mathbb R^2)$. We also show that $MT(2,β,α)$ is not attained for $β$ small which is different from the context of bounded domains. In the critical case, we prove that $MT(N,β_N,α)$ is attained for $α\geq 0$ small enough. To prove our results, we first establish a lower bound for $MT(N,β,α)$ which excludes the concentrating or vanishing behaviors of their maximizer sequences. This implies the attainability of $MT(N,β,α)$ in the subcritical case. The proof in the critical case is based on the blow-up analysis method. Finally, by using the Moser sequence together the scaling argument, we show that $MT(N,β_N,1) =\infty$. Our results settle the questions left open in \cite{doO2015,doO2016}.

研究の動機と目的

• 非有界領域におけるAdimurthi--Druet型Moser--Trudinger不等式の最大値関数の存在および非存在に関する未解決問題を解消すること。
• 臨界的（$\beta < \beta_N$）および臨界的（$\beta = \beta_N$）の場合に、$W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$における上界 $MT(N,\beta,\alpha)$ が達成される条件を特定すること。
• $\alpha \in [0,1)$ のパラメータが、特に最大値関数列の集中および消滅に関する臨界的および臨界的でない領域における役割を明確にすること。
• 精密な解析を用いて、極値列の鋭い漸近的挙動および爆発プロファイルを確立すること。
• $MT(N,\beta_N,1) = \infty$ を証明し、$\alpha=1$ の端点における達成不可能性を示すこと。

提案手法

• 最大値関数列における散逸または集中の挙動を除外するため、$MT(N,\beta,\alpha)$ に対する下界を確立し、臨界的でない場合の前コンパクト性を保証すること。
• 臨界的ケース $\beta = \beta_N$ における最大値関数列の集中プロファイルを調べるため、爆発解析を適用し、爆発点およびプロファイルを同定すること。
• Moser系列とスケーリングの手法を用いて、$MT(N,\beta_N,1)$ の有界性の欠如を示すテスト関数を構成すること。
• 関数 $w(t) = N^{1-1/N}\omega_{N-1}^{1/N}u(e^{-t/N})$ を用いた、$\mathbb{R}^N$ 上の径数関数と $\mathbb{R}$ 上の関数との間の変換を用い、積分を1次元の重み付き積分に帰着させること。
• 部分積分と $\Phi_N(t) = e^t - \sum_{k=0}^{N-2} \frac{t^k}{k!}$ における漸近的推定を適用し、指数関数的機能の成長を制御すること。
• Gagliardo--Nirenberg不等式を用いて、$N=2$ の臨界的でない場合の $\beta$-範囲の閾値を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$\beta < \beta_N$ の場合に $W^{1,N}(\mathbb{R}^N)$ における上界 $MT(N,\beta,\alpha)$ が達成されるか？
• RQ2 $\beta$ が十分に小さいとき、$MT(2,\beta,\alpha)$ は達成可能か？ これは有界領域の場合とどのように異なるか？
• RQ3 臨界的ケース $\beta = \beta_N$ において、$\alpha > 0$ が十分に小さいとき、$MT(N,\beta_N,\alpha)$ は有限かつ達成可能であるか？
• RQ4 $\alpha \to 1^-$ のとき、$MT(N,\beta_N,\alpha)$ はどのように変化するか？ 特に $\alpha=1$ のときには？
• RQ5 爆発解析法を用いて、臨界的ケースにおける最大値関数の集中プロファイルを特徴づけることができるか？

主な発見

• 臨界的でない場合、$N \geq 3$ または $N=2$ で $\beta \in \left(\frac{2(1+2\alpha)}{(1+\alpha)^2 B_2}, \beta_2\right)$ の範囲内では、上界 $MT(N,\beta,\alpha)$ が達成される。ここで $B_2$ は $W^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ におけるGagliardo--Nirenberg不等式の最良定数である。
• $N=2$ の場合、$\beta$ が十分に小さいとき、$MT(2,\beta,\alpha)$ は達成されない。これは有界領域の場合とは対照的である。
• 臨界的ケース $\beta = \beta_N$ において、すべての十分に小さい $\alpha \geq 0$ に対して $MT(N,\beta_N,\alpha)$ は達成される。
• 本稿では、Moser系列とスケーリングを用いて $MT(N,\beta_N,1) = \infty$ を証明し、$\alpha=1$ における関数の有界性の欠如を示した。これにより、未解決問題が解決された。
• 爆発解析法は、集中プロファイルを的確に同定でき、$\alpha$ が小さい臨界的ケースにおける最大値関数の構成を可能にした。
• $MT(N,\beta,\alpha)$ に対する下界が確立され、散逸および集中の挙動が除外され、臨界的でない領域における最大値関数の存在が保証された。