[論文レビュー] Extremal graph for intersecting odd cycles

Xinmin Hou, Yu Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、交わる奇数長サイクルに対する極値グラフを特定し、十分に大きな n に対して、k 個の交わる q-サイクル（q は奇数、q ≥ 5）を含まないグラフにおける最大辺数が、1 つの部集合に完全二部グラフ K_{k-1,k-1} を埋め込んだ Turán グラフ T_{n,2} によって一意に達成されることを証明している。極値辺数は e(T_{n,2}) + (k-1)^2 であり、これは先行研究における交わる三角形やクリークに関する結果を一般化するものである。

ABSTRACT

An extremal graph for a graph $H$ on $n$ vertices is a graph on $n$ vertices with maximum number of edges that does not contain $H$ as a subgraph. Let $T_{n,r}$ be the Turán graph, which is the complete $r$-partite graph on $n$ vertices with part sizes that differ by at most one. The well-known Turán Theorem states that $T_{n,r}$ is the only extremal graph for complete graph $K_{r+1}$. Erdös et al. (1995) determined the extremal graphs for intersecting triangles and Chen et al. (2003) determined the maximum number of edges of the extremal graphs for intersecting cliques. In this paper, we determine the extremal graphs for intersecting odd cycles.

研究の動機と目的

• k 個の交わる奇数長サイクル（長さ q ≥ 5）を含まないグラフで辺数を最大化する極値グラフを特定すること。
• 先行研究における交わる三角形やクリークに関する極値グラフの結果を、交わる奇数長サイクルのケースに一般化すること。
• 十分に大きな n に対して、正確な極値辺数を確立し、一意な極値グラフ構造を特徴づけること。
• 極値グラフが一意に Turán グラフ T_{n,2} に 1 つの部集合に K_{k-1,k-1} を埋め込んだものであることを証明すること。

提案手法

• n 頂点の完全なバランスの取れた 2 部グラフである Turán グラフ T_{n,2} を基本構造として用いる。
• T_{n,2} に 1 つの部集合に K_{k-1,k-1} を埋め込んだグラフの族 F_{n,k} を導入する。
• 極値グラフ論の技法を用い、Lemma 2.1 による次数およびマッチング数の制約と、Lemma 2.2 による安定性結果を適用する。
• 構造的解析と背理法を用いて、任意の極値グラフが一方の部集合に K_{k-1,k-1} を含み、他方の部集合に内部辺が存在しないことを示す。
• 次数和およびマッチング数の上限を用いて、可能な構成を制限し、一意性を証明する。
• Lemma 2.4 および Observation 2.3 を用いて、最大次数 ≤ 2 の部分グラフにおける辺数を抑え、マッチング数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n 頂点のグラフで、k 個の交わる奇数長サイクル（長さ q ≥ 5）を含まない場合の最大辺数は何か？
• RQ2 十分に大きな n に対して、この最大辺数を達成する唯一の極値グラフ構造は何か？
• RQ3 交わる奇数長サイクルの極値グラフは、先行研究における交わる三角形やクリークの結果をどのように一般化するか？
• RQ4 極値グラフが、1 つの部集合に完全二部グラフを埋め込んだ Turán グラフ T_{n,2} で構成されるのはどのような条件下か？
• RQ5 なぜ辺数が正確に e(T_{n,2}) + (k-1)^2 であり、なぜこの構造が唯一の極値グラフなのであろうか？

主な発見

• すべての n ≥ n₁(k,q) に対して、極値辺数 ex(n, C_{k,q}) は e(T_{n,2}) + (k-1)^2 に等しい。
• C_{k,q} の唯一の極値グラフは、T_{n,2} に 1 つの部集合に K_{k-1,k-1} を埋め込んだグラフからなる族 F_{n,k} である。
• 十分に大きな n に対して、極値グラフは同型を除いて一意である。
• 証明により、任意の極値グラフは、一方の部集合に完全なバランスの取れた二部グラフ K_{k-1,k-1} を含み、他方の部集合に内部辺が存在しないことが示された。
• 埋め込まれた K_{k-1,k-1} に含まれる辺数 (k-1)^2 はタイトであり、C_{k,q} のコピーを生成せずに超えることはできない。
• 本結果は、Erdös 他（1995）の定理 1.1（k-ファンに関するもの）を、奇数長 q ≥ 5 の交わる奇数長サイクルのケースに一般化する。