[論文レビュー] Extremal Graph Theory for Degree Sequences

Xiao‐Dong Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Graph theory and applications参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、同一の次数列を持つ連結グラフにおける極値的グラフ理論を調査し、スペクトル半径、ディリクレ固有値、ワイナー指数、ハラリー指数、部分木の数、彩色数などの主要な不変量を最大化または最小化することに焦点を当てる。極値グラフ（例えば、ファーバー＝クラーン性質を有するものや、最小のディリクレ固有値を有するもの）は、特定のBFS順序付けと構造的構成により一意に特徴付けられ、サイクル数が1つまたは2つのグラフへの結果の拡張に関する予想が提示されている。

ABSTRACT

This paper surveys some recent results and progress on the extremal prob- lems in a given set consisting of all simple connected graphs with the same graphic degree sequence. In particular, we study and characterize the extremal graphs having the maximum (or minimum) values of graph invariants such as (Laplacian, p-Laplacian, signless Laplacian) spectral radius, the first Dirichlet eigenvalue, the Wiener index, the Harary index, the number of subtrees and the chromatic number etc, in given sets with the same tree, unicyclic, graphic degree sequences. Moreover, some conjectures are included.

研究の動機と目的

• 同じ次数列を持つすべての連結グラフの集合の中で、スペクトル半径、ワイナー指数などの主要な不変量を極値化するグラフの構造を特定すること。
• 木、ユニサイクル、バイサイクルなどの特定のクラスについて、固定された次数列のもとでの極値グラフを特徴付けること。
• 最初のディリクレ固有値、ハラリー指数、部分木の数、彩色数などの不変量への極値結果を拡張すること。
• 次数列制約の下で、ファーバー＝クラーン性質とハドウィガー型の境界に関する予想を提示し、それらを検討すること。
• 主要化技法とBFS順序付けを用いて、極値グラフの構造的特徴付けを導出すること。

提案手法

• 主要化理論を用いて次数列を比較し、極値グラフの性質を導出する。
• 幅優先探索（BFS）順序付けを用いて、特にスペクトル半径が最大または最小の極値グラフを特徴付ける。
• SLO*-順序付けとBFSグラフを導入し、最初のディリクレ固有値を極値化するグラフの構造を分析する。
• ファーバー＝クラーンの不等式を用いて、ユニサイクルおよびバイサイクル族における最初のディリクレ固有値を最小化するグラフを同定する。
• グラフマイナー理論とトポロジカルマイナーの概念を用いて、次数列制約下での彩色数とハドウィガー数の関係を関係づける。
• 次数列が指定されたユニサイクルおよびバイサイクルグラフの標準形として、極値グラフ $U_{ au,B}^*$ および $G_{ au,B}^*$ を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたグラフィック次数列を持つ連結グラフの中で、スペクトル半径を最大または最小にするのはどのグラフか？
• RQ2 固定された次数列を持つすべての連結グラフの中で、最初のディリクレ固有値を最小にするグラフの構造は何か？
• RQ3 次数列が固定されたとき、グラフの彩色数はそのハドウィガー数によって上界で抑えられるか？
• RQ4 与えられた次数列に対する極値グラフが一意に定まるのはどのような条件下か？
• RQ5 ワイナー指数や部分木の数などのグラフ不変量は、同じ次数列を持つグラフの集合内でどのように振る舞うか？

主な発見

• 与えられたグラフィックなユニサイクル次数列に対して、グラフ $U_{ au,B}^*$ は最初のディリクレ固有値を一意に最小化し、ファーバー＝クラーン性質を有する唯一のグラフである。
• 次数列 $ au$ を持つすべてのバイサイクルグラフの中で、極値グラフ $G_{ au,B}^*$ は最初のディリクル固有値を最小化する。
• 主要化において $ au riangleleft au'$ かつ両者とも最小次数が3以上であれば、$ u^D(G_{ au,B}^*) > u^D(G_{ au',B}^*)$ が成り立ち、次数列の優越性に伴い固有値が単調に変化することが示された。
• グラフ $U_{n,k}^*$ は、$k$ 個のパラントを有する一意のユニサイクルグラフであり、その次数列クラスにおいて最初のディリクレ固有値を最小化する。
• ハドウィガー数 $h( au)$ とトポロジカルハドウィガー数 $h'( au)$ は、$\chi(\tau) \leq h'(\tau) \leq h(\tau)$ を満たし、次数列に関するハドウィガー予想の強化版が確認された。
• スペクトル半径および非負ラプラシアンスピークトル半径を極値化するグラフはすべてBFSグラフである。つまり、次数と距離の条件を満たすBFS順序付けを有する。