[論文レビュー] Extremal Kahler metrics on projective bundles over a curve

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+2 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、 genus $\geq 2$ のコンパクトなリーマン面上の射影バンドル $M = \mathbb{P}(E)$ が、定値スカラー曲率ケーラー（cscK）計量を持つための必要十分条件として、正則ベクトルバンドル $E$ がポリ安定であることであると確立している。さらに、シンプレクティック幾何学、モーメント写像、複素幾何における安定性理論の手法を用いて、十分に小さなケーラー類において extremal ケーラー計量が存在するための条件は、$E$ が安定部分バンドルの直和に分解することであると示している。

ABSTRACT

Let $M=P(E)$ be the complex manifold underlying the total space of the projectivization of a holomorphic vector bundle $E o Σ$ over a compact complex curve $Σ$ of genus $\ge 2$. Building on ideas of Fujiki, we prove that $M$ admits a Kähler metric of constant scalar curvature if and only if $E$ is polystable. We also address the more general existence problem of extremal Kähler metrics on such bundles and prove that the splitting of $E$ as a direct sum of stable subbundles is necessary and sufficient condition for the existence of extremal Kähler metrics in sufficiently small Kähler classes. The methods used to prove the above results apply to a wider class of manifolds, called {\it rigid toric bundles over a semisimple base}, which are fibrations associated to a principal torus bundle over a product of constant scalar curvature Kähler manifolds with fibres isomorphic to a given toric Kähler variety. We discuss various ramifications of our approach to this class of manifolds.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面（genus $\geq 2$）上の射影バンドル $\mathbb{P}(E)$ における定値スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在条件を特定すること。
• このようなバンドルにおける十分に小さなケーラー類における extremal ケーラー計量の存在を特徴づけること。
• 幾何的構造（extremal計量）と代数的安定性（ポリ安定性）の対応関係を、曲線上の射影バンドルの設定にまで拡張すること。
• 射影バンドルを超える一般化を図り、半単純な基底多様体上の剛性のあるトーリックファイバーを持つ多様体のクラスにフレームワークを一般化すること。

提案手法

• Fujikiの手法を適応し、モーメント写像技術とシンプレクティック還元を用いて、射影バンドル上の extremal計量を研究する。
• extremal計量の存在に対する障害を分析するために、Futaki汎関数のシンプレクティック版を用いる。
• Lichnerowicz–Matsushima定理と、削減された自己同型群 $\widetilde{\mathrm{Aut}}_0(M,J)$ による一意性を適用する。
• Yau–Tian–Donaldson予想を経由してcscK計量と $K$-ポリ安定性の同値性を用い、extremal計量への拡張として相対的 $K$-ポリ安定性を適用する。
• O’Neillテンソルと接続分解（$D = D^\mathcal{H} \oplus D^\mathcal{V}$）を用いて、バンドル上の曲率およびスカラー曲率を計算する。
• ベース計量、ファイバーのデータ、およびモーメント写像成分 $p(z)$ と $H_{ij}$ を用いて、リッチ形式 $\rho^\nabla$ とスカラー曲率 $s^\nabla$ の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン面（genus $\geq 2$）上の射影バンドル $\mathbb{P}(E)$ が定値スカラー曲率ケーラー計量を持つための条件は何か？
• RQ2 十分に小さなケーラー類における extremal ケーラー計量の存在に際して、正則ベクトルバンドル $E$ に課される正確な条件は何か？
• RQ3 バンドル $E$ の安定性（ポリ安定性、安定部分バンドルの直和）と、$\mathbb{P}(E)$ 上の extremal計量の存在との関係は何か？
• RQ4 射影バンドルに用いられた手法を、例えば半単純な基底上の剛性のあるトーリックファイバーを持つ多様体といったより広いクラスに一般化できるか？
• RQ5 削減された自己同型群 $\widetilde{\mathrm{Aut}}_0(M,J)$ は、extremal計量の存在および一意性にどのように寄与するか？

主な発見

• コンパクトなリーマン面（genus $\geq 2$）上の射影バンドル $M = \mathbb{P}(E)$ が定値スカラー曲率ケーラー計量を持つための必要十分条件は、正則ベクトルバンドル $E$ がポリ安定であることである。
• 十分に小さなケーラー類において、$\mathbb{P}(E)$ 上に extremal ケーラー計量が存在するための必要十分条件は、$E$ が安定部分バンドルの直和に分解することである。
• $E$ がポリ安定でない場合、構成された計量のスカラー曲率は非定値であることが確認され、安定性条件の必要性が裏付けられた。
• リッチ形式 $\rho^\nabla$ は、ベースのリッチ形式の和と、$p(z)$ および $H_{ij}$ の微分を含む補正項の和として明示的に計算された。これはファイブレーションの幾何的性質を反映している。
• スカラー曲率 $s^\nabla$ はリッチ形式のトレースとして導出され、モーメント写像のデータおよびベース上の計量に依存する。
• このフレームワークは、定値スカラー曲率ケーラー多様体の積を基底とする、剛性のあるトーリックファイバーを持つ多様体へ一般化可能であり、結果の適用範囲が拡張された。