[論文レビュー] Extremal metrics on Hartogs domains

Andrea Loi, Fabio Zuddas|arXiv (Cornell University)|May 15, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、強い擬凸性を持つ境界を持つハートォグス領域に極値ケーラー計量が備わっている場合、それが複素双曲空間 $\mathbb{C}H^n$ に正則等長写像で同型であることを証明している。証明は、明示的なケーラー計量成分を用いてスカラー曲率と極値性条件を解析し、スカラー曲率が定数でなければならないことを導出し、その結果として計量が双曲計量と等価であることを結論づけている。

ABSTRACT

An $n$-dimensional Hartogs domain $D_F$ with strongly pseudoconvex boundary can be equipped with a natural \K metric $g_F$. In this paper we prove that if $g_F$ is an extremal \K metric then $(D_F, g_F)$ is biholomorphically isometric to the $n$-dimensional complex hyperbolic space.

研究の動機と目的

• ハートォグス領域が極値ケーラー計量を許容する条件を特定すること。
• 非コンパクトな複素多様体、特にハートォグス領域において、極値計量が標準的な幾何的構造を示唆するかどうかを調査すること。
• 剛性結果の確立：ハートォグス領域 $D_F$ の自然なケーラー計量 $g_F$ が極値であるならば、$D_F$ は $\mathbb{C}H^n$ に正則等長写像で同型でなければならないこと。
• コンパクトな場合に限らない、非コンパクトで強い擬凸性を持つ領域への極値計量の理解を拡張すること。
• 曲率と計量成分の解析を用いて、ハートォグス領域上の極値計量を特徴づけること。

提案手法

• 関数 $F$ を $[0, x_0)$ 上で減少する滑らかな関数として定義し、$x_0 \in \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ とする。これによりハートォグス領域 $D_F \subset \mathbb{C}^n$ を定義する。
• ケーラー形式 $\omega_F = \frac{i}{2}\partial\bar{\partial}\log\frac{1}{F(|z_0|^2) - \sum_{j=1}^{n-1}|z_j|^2}$ からケーラー計量 $g_F$ を構成する。
• 強い擬凸性の条件（$-(xF'(x)/F(x))'$ が正であること）を用い、$\omega_F$ がケーラー形式であることを保証する。
• ケーラー計量 $g_F$ のリッチ曲率およびスカラー曲率を明示的に計算し、$\mathrm{scal}_{g_F} = -n(n+1) + G(F - \sum |z_j|^2)$ と表す。ここで $G = -L F / B$ である。
• 局所座標による極値性条件 $\frac{\partial}{\partial \bar{z}_\alpha} \left( \mathrm{scal}_{g_F} \cdot g^{\beta\bar{\alpha}} \right) = 0$（$\alpha \neq \beta$）を適用する。
• $G = c/F$（$c$ は定数）が得られ、$GF'x$ の2階微分を解析することで $c = 0$ であることを示し、スカラー曲率が定数であることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハートォグス領域 $D_F$ が極値ケーラー計量を許容するのはどのような条件下か？
• RQ2 非コンパクトで強い擬凸性を持つ領域における極値ケーラー計量は、標準的な幾何的構造を生じさせるか？
• RQ3 極値計量を持つハートォグス領域の唯一の可能な結果は複素双曲空間 $\mathbb{C}H^n$ か？
• RQ4 スカラー曲率は、ハートォグス領域上の極値計量を特徴づける上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 極値性が課されたとき、計量 $g_F$ の構造は関数 $F$ をどのように制約するか？

主な発見

• ハートォグス領域 $D_F$ 上で $g_F$ が極値ケーラー計量であるならば、スカラー曲率 $\mathrm{scal}_{g_F}$ は定数でなければならない。
• 極値性条件から $G = c/F$ という関係が得られ、ここで $G$ は $F$ 及びその微分に依存する関数である。
• $(xF'(x)/F(x))'$ の正値性を考慮すると、定数 $c$ は 0 でなければならない。
• この $c = 0$ のとき $G = 0$ となり、$\mathrm{scal}_{g_F} = -n(n+1)$ が定数であることが示され、計量が定数スカラー曲率を持つことを意味する。
• スカラー曲率の定数性と $g_F$ の構造から、$(D_F, g_F)$ が双曲計量を備えた $\mathbb{C}H^n$ に正則等長写像で同型であることが導かれる。
• この結果により、極値ケーラー計量を許容するハートォグス領域は、$\mathbb{C}H^n$ に正則等長写像で同型であるものに限ることが剛性として確立される。