[論文レビュー] Extremal Probabilistic Problems and Hotelling's T^2 Test Under Symmetry Condition

Iosif Pinelis|ArXiv.org|Jan 28, 2007

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、対称性条件下におけるホットテリングの $T^2$ 検定について、鋭い確率的不等式を確立する。$n^{1/2}R$（ここで $R^2 = T^2/(1+T^2)$）の分布は、一様な上限 $2e^3/9$ を用いて $ ph_d$ 分布に確率的に支配される。結果は、直交象限対称性の下で、有限標本における古典的な漸近的カイ二乗近似を拡張し、極限定理ではなく正確な不等式を提供する。また、新たな単調性結果が得られる：$d \to \infty$ のとき、$ chi_d - (d-1)^{1/2}$ は分布的に $N(0, 1/2)$ に減少する。主な貢献は、先行の保守的近似を改善する非漸近的かつ正確な尾確率の上限を提供することにある。

ABSTRACT

We consider Hotelling's T^2 statistic for an arbitrary d-dimensional sample. If the sampling is not too deterministic or inhomogeneous, then under zero means hypothesis, T^2 tends to χ^2_d in distribution. We show that a test for the orthant symmetry condition introduced by Efron can be constructed which does not essentially differ from the one based on χ^2_d and at the same time is applicable not only for large random homogeneous samples but for all multidimensional samples without exceptions. The main assertions have the form of inequalities, not that of limit theorems; these inequalities are exact representing the solutions to certain extremal problems. Let us also mention an auxiliary result which itself may be of interest: χ_d-(d-1)^{1/2} decreases in distribution in d to its limit N(0,1/2).

研究の動機と目的

• ホットテリングの $T^2$ 検定の古典的な漸近的分布的結果を、対称性の下で有限標本、非漸近的設定に拡張すること。
• すべての標本サイズと次元に対して有効である、$T^2$ および $R^2$ の正確な確率的不等式を確立すること。
• 直交象限対称性の下で、$n^{1/2}R$ の尾確率が、標準正規尾確率の $2e^3/9$ 倍で一様に上界を持つことを証明すること。
• エイトンのラデマッハ和の不等式を、対称確率変数の二次形式へ一般化し、$T^2$ 型統計量への適用範囲を拡大すること。
• $\chi_d - (d-1)^{1/2}$ の分布的単調性を示し、$d \to \infty$ のとき $N(0, 1/2)$ に分布的に減少することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、正則化を用いた $T^2$ および $R^2$ の新しい定義を導入する：$T^2 = \lim_{\epsilon \downarrow 0} \overline{X}(C + \epsilon I)^{-1}\overline{X}^T$ であり、$C$ が特異であっても存在を保証する。
• 主な構造的仮定として、エフロン（1969）が提唱した直交象限対称性を用い、この下で $T^2$ の分布は $ chi_d^2$ に確率的に支配される。
• すべての凸関数 $f \in C^{2}_{\text{conv}}$ に対して、主な不等式 $\mathbb{E}[f(n^{1/2}R)] \leq \mathbb{E}[f(\chi_d)]$ を証明し、エイトンの初期結果（単項式に限る）を一般化する。
• 証明は、確率的単調性および尤度比単調性に依拠し、特に関数 $\Lambda_r(u)$ 及び微分不等式によるその境界を用いる。
• 重要な補助的結果として、$d \to \infty$ のとき、$\chi_d - (d-1)^{1/2}$ は分布的に $N(0, 1/2)$ に減少する。これは尤度比の単調性を用いて証明される。
• 帰納法および微分解析を用いて $\Lambda_r(u)$ の比を評価し、尾不等式における鋭い定数 $2e^3/9$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホットテリングの $T^2$ の古典的な漸近的 $ chi_d^2$ 近似を、対称性の下で、正確で非漸近的な不等式に置き換えることは可能か？
• RQ2 すべての $x \geq 0$ に対して $\mathbb{P}(n^{1/2}R \geq x) \leq c \cdot \mathbb{P}(\chi_d \geq x)$ を満たす最良の一様定数 $c$ は何か？
• RQ3 $\chi_d - (d-1)^{1/2}$ の分布は $d$ の増加とともに確率的に単調に減少するか？ また、$N(0, 1/2)$ に収束するか？
• RQ4 エイトンのラデマッハ和の不等式は、$T^2$ の統計量に現れるような対称確率変数の二次形式へ拡張可能か？
• RQ5 不等式 $\mathbb{P}(S_n \geq x) < \frac{2e^3}{9} \cdot \frac{\varphi(x)}{x}$ はすべての $x > 0$ に対して鋭く、すべての対称 $S_n$ に対して成り立つか？

主な発見

• すべての $f \in C^{2}_{\text{conv}}$ に対して不等式 $\mathbb{E}[f(n^{1/2}R)] \leq \mathbb{E}[f(\chi_d)]$ が成り立ち、エイトンの結果（単項式に限る）を、2階微分が凸であるすべての凸関数へ一般化する。
• 尾確率の上限 $\mathbb{P}(n^{1/2}R \geq x) < \frac{2e^3}{9} \cdot \mathbb{P}(\chi_d \geq x)$ は鋭く、定数 $2e^3/9 \approx 4.46$ が最適である。
• すべての $x > 0$ に対して不等式 $\mathbb{P}(S_n \geq x) < \frac{2e^3}{9} (1 - \Phi(x)) < \frac{2e^3}{9} \cdot \frac{\varphi(x)}{x}$ が成り立ち、対称ラデマッハ和のエイトンの予想が証明される。
• $\chi_d - (d-1)^{1/2}$ の分布は $d$ の増加とともに分布的に単調に減少し、$N(0, 1/2)$ に収束する。これは新たな単調性結果である。
• 不等式 $\mathbb{P}(S_n \geq x) < \frac{2e^3}{9} \cdot \frac{\varphi(x)}{x}$ はすべての $x > 0$ に対して成り立ち、定数 $2e^3/9$ は改善できない。
• 本稿は、$u \geq 0$ における $\Lambda_r(u)$ の最大値が $2e^3/9$ よりも厳密に小さいことを証明し、尾不等式における境界の鋭さを確認する。