[論文レビュー] Extremal problems in ordered graphs

Craig Weidert|ArXiv.org|Jul 15, 2009

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、固定された禁止部分グラフを回避することができる順序付きグラフがもつことのできる辺の最大数に注目し、順序付きグラフにおける極値問題を調査する。特に『サルボート』と呼ばれる特定の順序付き二部グラフの極値関数に対して、反復的密度増加構成と、良いハットと区間分割を用いた組合せ的議論により上界を確立する。これはパッチとターダスが提起した、順序付きグラフにおける木の極値関数に関する予想に向けた進展をもたらす。

ABSTRACT

In this thesis we consider ordered graphs (that is, graphs with a fixed linear ordering on their vertices). We summarize and further investigations on the number of edges an ordered graph may have while avoiding a fixed forbidden ordered graph as a subgraph. In particular, we take a step toward confirming a conjecture of Pach and Tardos regarding the number of edges allowed when the forbidden pattern is a tree by establishing an upper bound for a particular ordered graph for which existing techniques have failed. We also generalize a theorem of Geneson by establishing an upper bound on the number of edges allowed if the forbidden graphs fit a generalized notion of a matching.

研究の動機と目的

• 順序付き二部グラフ、特に『サルボート』グラフ $ P $ に対する極値関数 $ ex_2(n,P) $ を取り上げ、その厳密な境界が未だ不明な状態であることを扱う。
• 標準的手法が失敗するパターンに対して、順序付きグラフにおける極値関数をバインドする既存の技術を拡張すること。
• 順序付きグラフにおける $ m $-タプルマッチングやその他の一般化されたマッチングパターンの極値的挙動を調査すること。
• 順序付きグラフにおける木の極値関数に関するパッチとターダスの予想を確認するための段階的進展を提供すること。
• 本研究で用いられたサルボートグラフに対する手法が、研究対象とは限らない他の固定順序付きグラフへ一般化可能かどうかを検討すること。

提案手法

• 反復的構成プロセスを用いて、禁止パターン $ P $ を回避しつつ、辺密度を増加させる順序付き二部グラフ $ G_0, G_1, \dots, G_i $ の系列を構築する。
• この手法は、グラフ内に存在する『良いハット』と呼ばれる特定の構成を持つエッジの三つ組を同定し、構造的制約に基づいて三つのタイプに分類することに依存する。
• 区間分割による頂点集合の分割と次数制約を用いて、総数を数える議論を適用し、このような構成の総数に対する上界を導出する。
• 再帰的密度増加を用いる：$ G_{i-1} $ から $ G_i $ に移行する際、頂点数 $ n_i $ は $ \lfloor n_{i-1}/t_{i-1} \rfloor $ に減少し、最小次数 $ t_i $ は約 $ 1/(80 \log n_{i-1}) $ の要因で増加する。
• 最小次数が $ 24 \lceil \log n_i \rceil $ を超えるまでこの構成を繰り返し、初期の辺数が高すぎると仮定した場合に矛盾を導く。
• 最終的な上界は、列 $ t_0, t_1, \dots, t_{i_0} $ の成長を分析することで得られ、$ ex_2(n,P) $ の $ n $ と対数因子による上界が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『サルボート』順序付き二部グラフ $ P $ に対する極値関数 $ ex_2(n,P) $ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 一般化されたマッチングパターンと区間分解技術を用いて、順序付きグラフにおける $ m $-タプルマッチングの極値関数をバインドできるか？
• RQ3 サルボートグラフに用いられた反復的密度増加手法は、特に六本以上の辺を持つ木を含む他の順序付きグラフに対しても適用可能か？
• RQ4 サルボートグラフに対して導かれた上界はタイトなものか？ もしそうであれば、これはパッチとターダスの木の極値関数に関する予想に対して反例となり得るか？
• RQ5 区間彩色数と頂点を独立集合に分割する方法は、順序付きグラフの極値的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 『サルボート』グラフ $ P $ の極値関数 $ ex_2(n,P) $ に対して上界が確立され、$ ex_2(n,P) = O(n \cdot 80^{\sqrt{\log n \log \log n}}) $ であることが示された。これは、このパターンに対して以前の境界を改善するものである。
• 従来の手法が失敗するクラスの順序付きグラフ、特にサルボートグラフに対して、本手法は有効に機能し、既存技術の限界を乗り越えた。
• 反復的構成プロセスにより、各段階で辺密度が増加しつつ、禁止パターン $ P $ を回避することが保証され、初期辺数が高すぎると仮定した場合に矛盾が生じる。
• グラフ内の『良いハット』の総数は $ 3npt $ で抑えられ、この境界が、このような構成が多すぎると仮定した場合に矛盾を導くために用いられる。
• 解析により、サルボートグラフの極値関数は $ n $ の任意の多項式よりも遅く、しかし任意の多対数関数よりも速く成長することが確認された。
• 結果として、上界がタイトである可能性が支持され、もしそうであれば、サルボートグラフはパッチとターダスの木の極値関数に関する予想に対して反例となるだろう。