[論文レビュー] Extremal problems on ordered and convex geometric hypergraphs

Zoltán Füredi, Tao Jiang+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、順序付きおよび凸幾何的 $r$-一様超グラフにおける極値境界を確立し、コードグラフ密度に応じた極値的挙動の段階的転移を示す分割定理を導入する。主な結果は、2つの交互に並ぶ辺からなる特定の順序付き $r$-グラフ $F$ に対する正確な極値関数である：${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = inom{n}{r} - inom{n-r}{r}$ であり、これは Erdős–Ko–Rado 定理の順序付きアナログである。

ABSTRACT

An ordered hypergraph is a hypergraph whose vertex set is linearly ordered, and a convex geometric hypergraph is a hypergraph whose vertex set is cyclically ordered. Extremal problems for ordered and convex geometric graphs have a rich history with applications to a variety of problems in combinatorial geometry. In this paper, we consider analogous extremal problems for uniform hypergraphs, and discover a general partitioning phenomenon which allows us to determine the order of magnitude of the extremal function for various ordered and convex geometric hypergraphs. A special case is the ordered $n$-vertex $r$-graph $F$ consisting of two disjoint sets $e$ and $f$ whose vertices alternate in the ordering. We show that for all $n \geq 2r + 1$, the maximum number of edges in an ordered $n$-vertex $r$-graph not containing $F$ is exactly \[ {n \choose r} - {n - r \choose r}.\] This could be considered as an ordered version of the Erdős-Ko-Rado Theorem, and generalizes earlier results of Capoyleas and Pach and Aronov-Dujmovič-Morin-Ooms-da Silveira.

研究の動機と目的

• 幾何的および組合せ的応用に動機づけられ、順序付きおよび凸幾何的 $r$-一様超グラフへの極値グラフ理論の拡張。
• 特定の交互な辺を持つ $r$-グラフに対して、順序付き Erdős–Ko–Rado 定理を解明すること。
• 順序付き超グラフにおける極値関数と、有界区間彩色数をもつものの関係を示す一般化された分割原理（分割定理）を確立すること。
• 特にパスやマッチングに関して、線形順序付きと巡回順序付き超グラフにおける極値的挙動の違いを調査すること。
• 順序付きおよび凸幾何的設定における森のための線形または近似的線形の極値関数に関する未解決の予想に取り組むこと。

提案手法

• 構造化された極値的構成をモデル化するため、エッジが1つの区間の2つの頂点と、他の $r-1$ 個の区間の各1つの頂点を持つ「分割超グラフ」の概念を導入する。
• 禁止超グラフ $F$ のコードグラフ密度 $c$ に応じて、${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F)$ が $O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$ または $O(z_{ ightarrow}(n,F))$ で有界であることを示す分割定理を証明する。
• パスおよびマッチングの極値関数に対する下界を確立するために、順序付きおよび凸幾何的設定の両方で $G(n,r,r+2)$ の極値族を構築する。
• 禁止構成を避けるために再帰的な頂点選択の議論を用い、特に凸幾何的設定における交差パスに対して有効である。
• 既知の凸幾何的マッチングに関する結果（Capoyleas–Pach）を活用して、$CM_k^r$ に対する正確な境界を導出し、${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{igcirclearrowright}(n,CM_k^r)$ および $ heta(n^{r-1})$ の成長を示す。
• 順序付きおよび凸幾何的グラフ理論からの極値的技法を一様超グラフに適用し、単位距離や交差マッチングに関する結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形順序において交互に並ぶ2つの孤立辺からなる順序付き $r$-グラフに対して、正確な極値関数は何か？
• RQ2 禁止超グラフのコードグラフ密度に依存して、順序付き超グラフの極値関数はどのように変化するか？
• RQ3 交互な辺構造を持つ $r$-一様超グラフに対して、順序付き Erdős–Ko–Rado 定理を一般化できるか？
• RQ4 凸幾何的設定における $r$-一様交差 $k$-パス $CP_k^r$ の極値的挙動は、順序付き設定と比べてどう異なるか？
• RQ5 どのクラスの $r$-一様森 $F$ に対して、極値関数 ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F)$ が $O(n^{r-1} ext{ polylog }n)$ で有界となるか？

主な発見

• すべての $n \neq 2r+1$ に対して、2つの交互な辺からなる順序付き $r$-グラフ $F$ の極値関数は正確に ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$ であり、これは Erdős–Ko–Rado 定理の正確な順序付きアナログを提供する。
• 分割定理により、禁止超グラフ $F$ のコードグラフ密度 $c = r-1$ のとき ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,F) = O(z_{ ightarrow}(n,F) ext{ polylog }n)$ であり、$c > r-1$ のとき $O(z_{ ightarrow}(n,F))$ であることが示された。
• $r$-一様交差 $k$-パス $CP_k^r$ に対して、順序付き設定における極値関数は $k \neq r+1$ のとき ${ m{ex}}_{ ightarrow}(n,CP_k^r) = \binom{n}{r} - \binom{n-r}{r}$ であり、$c(r+1,r) = r$ である。
• 凸幾何的設定において、$r$-一様交差 $k$-マッチング $CM_k^r$ の極値関数は ${ m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r) = \theta(n^{r-1})$ を満たし、対数因子は存在しない。
• 凸幾何的設定における $CP_{2r}^r$ の極値関数は $O(n^{r-1})$ で上界が与えられ、構成 $G(n,r,r+2)$ は頂点順序の構造的制約によりこのようなパスを回避する。
• $CM_k^r$ の極値関数は順序付きおよび凸幾何的設定の両方で同一であり、${ m{ex}}_{\rightarrow}(n,CM_k^r) = { m{ex}}_{\bigcirclearrowright}(n,CM_k^r)$ であり、この関数は $\theta(n^{r-1})$ である。