[論文レビュー] Extremal quantum correlations for N parties with two dichotomic observables per site

Lluís Masanes|ArXiv.org|Dec 13, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 1被引用数 43

ひとこと要約

本稿は、N粒子に対して各サイトで2つの二値観測可能であり、すべての極値的量子相関がN-qubit純粋状態および射影測定によって達成可能であることを証明している。主な結果は、ベル不等式を破る任意の量子相関が、確率的局所操作（SLOCC）によって、同じ不等式を同程度以上に破るN-qubit状態に変換可能であり、このことにより、この状況における量子実現可能性のアルゴリズム的決定可能性が可能になる。

ABSTRACT

Consider a scenario where $N$ separated quantum systems are measured, each with one among two possible dichotomic observables. Assume that the $N$ events corresponding to the choice and performance of the measurement in each site are space-like separated. In the present paper, the correlations among the measurement outcomes that arise in this scenario are analyzed. It is shown that all extreme points of this convex set are attainable by measuring $N$-qubit pure-states with projective observables. This result allows the possibility of using known algorithms in order decide whether some correlations are achievable within quantum mechanics or not. It is also proven that if an $N$-partite state $ρ$ violates a given Bell inequality, then, $ρ$ can be transformed by stochastic local operations into an $N$-qubit state that violates the same Bell inequality by an equal or larger amount.

研究の動機と目的

• N粒子がそれぞれ2つの二値観測を実行するベル状況における量子相関の集合を特徴付けること。
• この量子相関集合の極値的点が最小次元の量子系によって実現可能かどうかを特定すること。
• 与えられた相関分布がこの状況で量子力学的に実現可能かどうかを決定する有限でアルゴリズム的な基準を提供すること。
• ベル不等式の破れと量子状態の次元性との間の関係を確立し、高次元状態が損失を伴わずにqubit状態に還元可能であることを示すこと。

提案手法

• N粒子量子状態における局所測定から生じる連関確率分布 P(a₁…aN|x₁…xN) によって定義される量子相関の凸集合を分析する。
• 正の演算子値測定（POVM）の形式およびトレース則を用いて、量子相関を Tr[ρ ⊗ₙ Aₙ(aₙ|xₙ)] として表現する。
• 凸幾何学および量子情報理論の技術を用いて、量子相関集合のすべての極値点がN-qubit純粋状態および射影測定によって達成可能であることを示す。
• 確率的局所操作（SLOCC）を用いて、一般のN粒子状態を各粒子のランク2の部分空間に射影し、ベル不等式の破れを保存または増加させる。
• 線形計画法および凸最適化（GLSアルゴリズム）の既知の結果を活用し、局所ヒルベルト空間の次元が2に制限される場合、量子実現可能性の決定可能性が示されることを証明する。
• 全相関関数 C(x₁…xₙ) を用いて、実験的データを圧縮しつつ、極値性および破れ特性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N粒子で各サイトに2つの二値観測可能がある場合、すべての極値的量子相関がN-qubit純粋状態および射影測定によって達成可能か？
• RQ2 ベル不等式を破る任意のN粒子量子状態が、確率的局所操作（SLOCC）によって、同じ不等式を同程度以上に破るN-qubit状態に変換可能か？
• RQ3 （N, M=2, K=2）の状況で、すべての極値的量子相関を生成するために必要な最小の局所ヒルベルト空間次元は2（すなわちK）に等しいか？
• RQ4 与えられた相関分布が量子力学的に実現可能かどうかを判断する問題が、この状況において有限次元でアルゴリズム的可能な可能性問題に還元可能か？
• RQ5 多粒子状況におけるベル不等式の破れと、それに対応する量子状態の次元性との関係は何か？

主な発見

• N粒子で各サイトに2つの二値観測可能がある状況におけるすべての極値的量子相関が、N-qubit純粋状態および射影測定によって達成可能である。
• この状況における量子相関の集合はN-qubit状態によって完全に特徴付けられており、量子情報理論におけるオープンプロブレムリストの問題26.Aを解決している。
• ベル不等式を破る任意のN粒子状態は、SLOCCを用いて、同じ不等式を同程度以上に破るN-qubit状態に変換可能である。
• 局所ヒルベルト空間の次元が2に制限される場合、与えられた相関分布が量子力学的に実現可能かどうかを決定する問題は、既知のアルゴリズム（GLS）を用いて決定可能になる。
• 全相関関数 C(x₁…xₙ) は、この状況におけるすべての極値的量子挙動を捉えており、データ要件を 2^N 個から 2^N - 1 個に削減する。
• この結果により、（N, M=2, K=2）の状況ですべての極値的量子相関を生成するために十分な最小の局所次元が正確に2であることが示され、この場合の予想が裏付けられた。