[論文レビュー] Extremal structure and Duality of Lipschitz free spaces

Luis C. García‐Lirola, Colin Petitjean+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 28被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、リプシッツ自由空間における極値構造と双対性を調査し、一般に、単位球の保存された極値点がすべてすくい込み点であることを証明する。自然な前双対を備えた空間、あるいは一様離散的な空間では、極値点が分子に一致し、分子が極値であるのは、その定義点間の距離的線分に他の点を含まないときであることが示され、特殊な場合における重要な未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We analyse the relationship between different extremal notions in Lipschitz free spaces (strongly exposed, exposed, preserved extreme and extreme points). We prove in particular that every preserved extreme point of the unit ball is also a denting point. We also show in some particular cases that every extreme point is a molecule, and that a molecule is extreme whenever the two points, say $x$ and $y$, which define it satisfy that the metric segment $[x, y]$ only contains $x$ and $y$. The most notable among them is the case when the free space admits an isometric predual with some additional properties. As an application, we get some new consequences about norm-attainment in spaces of vector valued Lipschitz functions.

研究の動機と目的

• リプシッツ自由空間における極値的性質（強く露わな、すくい込み、保存された極値、極値）の関係を明確化すること。
• 2つの未解決問題を解決すること：(a) すべての極値点が分子であるかどうか、(b) 定義点が中間点を含まない距離的線分を形成するとき、分子が極値であるかどうか。
• 極値点の集合が強く露わな点の集合または分子の集合に一致する条件を確立すること。
• ベクトル値リプシッツ関数空間におけるノルムの達成に応用すること。
• リプシッツ自由空間に等長前双対（特に自然前双対）の存在と性質を研究すること。

提案手法

• 保存された極値点の弱収束による特徴づけを用いて、リプシッツ自由空間の単位球の保存された極値点がすべてすくい込み点であることを証明する。
• 保存された極値点の距離的特徴づけを再証明し、x と y 間の距離的線分に x と y のみが含まれるとき、それが分子であることを示す。
• リプシッツ自由空間の「自然前双対」を導入し、その性質を研究する。これは、追加の構造的性質を備えた等長前双対である。
• 自然前双対の存在を用いて、追加の仮定の下で極値点が強く露わな点に一致することを示す。
• 一様離散的かつ有界な距離空間のケースを分析し、x と y 間の距離的線分に M の他の点を含まないとき、分子 mxy が極値点であることを示す。
• 結果をノルムの達成に応用し、M と F(M) に幾何的・構造的条件が満たされるとき、ノルムを達成するリプシッツ関数が強くノルムを達成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リプシッツ自由空間の単位球のすべての極値点は分子であるか？
• RQ2 距離的線分 [x, y] に M の他の点を含まないとき、分子 mxy は単位球の極値点か？
• RQ3 F(M) における極値点の集合が強く露わな点の集合に一致する条件は何か？
• RQ4 F(M) 上のリプシッツ関数のノルム達成が、その関数の強ノルム達成を意味するのはいつか？
• RQ5 F(M) が等長前双対（特に自然前双対）を備えるための構造的・幾何的条件は何か？

主な発見

• リプシッツ自由空間の単位球の保存された極値点は、一般にすべてすくい込み点である。
• 分子の集合 V は F(M) で弱閉であり、標準埋め込み δ(M) に対しても弱閉である。
• 一様離散的かつ有界な距離空間では、距離的線分 [x, y] に M の他の点を含まないとき、すべての分子 mxy は極値点である。
• F(M) が自然前双対を備え、M が一様離散的かつ有界であるとき、BF(M) のすべての極値点は分子である。
• lip0(M) が 1-SPU 性質を備えるコンパクト距離空間では、BF(M) のすべての極値点はすくい込み点である。
• Krein-Milman 性質および ext(BF(M)) ⊆ V の条件下で、Lip0(M, R) 内のすべてのノルム達成関数は、強くノルムを達成する。すなわち、NA(F(M), R) = LipSNA(M, R) が成り立つ。