[論文レビュー] Extremal varieties 3-rationally connected by cubics, quadro-quadric Cremona transformations and rank 3 Jordan algebras

Luc Pirio, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Advanced Topics in Algebra参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、n次元の射影的代数的多様体（ℙ²ⁿ⁺¹内に埋め込まれた3-有理的連結な twisted cubics で被覆されるもの）、ℙⁿ⁻¹ 上の四次四次クリメナ変換、および複素数のジョルダン代数（ランク3）の間の明確な全単射（XJC対応）を確立する。それぞれの対応は、射影的同値、線形同値、および同型同値の意味で定義される。主な貢献は、ジョルダン代数の根核と半単純分解を通じて、見た目は異なる分野を結ぶ構造的分類を確立したことにある。

ABSTRACT

For any $n\geq 3$, we prove that there exist equivalences between these apparently unrelated objects: irreducible $n$-dimensional non degenerate projective varieties $X\subset \mathbb P^{2n+1}$ different from rational normal scrolls and 3-covered by twisted cubic curves, up to projective equivalence; quadro-quadric Cremona transformations of $ \mathbb P^{n-1}$, up to linear equivalence; $n$-dimensional complex Jordan algebras of rank three, up to isotopy. We also provide some applications to the classification of particular classes of varieties in the class defined above and of quadro-quadric Cremona transformations, proving also a structure theorem for these birational maps and for varieties 3-covered by twisted cubics by reinterpreting for these objects the solvability of the radical of a Jordan algebra.

研究の動機と目的

• 3-有理的連結な多様体（twisted cubics で被覆される極値的多様体）、四次四次クリメナ変換、およびランク3の複素ジョルダン代数という、3つの異なる代数的幾何的対象の間の深い構造的対応を確立すること。
• ℙ²ⁿ⁺¹ 内に埋め込まれた、非有理的ノーマルスクリューを除く、n次元の非特異な射影的多様体で、twisted cubics によって3-有理的連結であるものについて、それがランク3のジョルダン代数上の twisted cubic と射影的に同値であることを証明すること。
• ℙⁿ⁻¹ 上の任意の四次四次クリメナ変換が、ランク3のジョルダン代数の随伴写像と線形同値であることを示し、双正則幾何学と非可換代数の間の関係を確立すること。
• 根核拡張およびゼロ拡張の理論を用いて、退化した場合（有理的ノーマルスクリュー、および「偽」クリメナ写像を含む）に対応を拡張すること。
• XJC対応を応用して、四次四次クリメナ変換の構造定理を導出し、ジョルダン代数の根核理論を用いて既知の同型多項式に関する結果を再証明すること。

提案手法

• ランク3のジョルダン代数上の twisted cubic の幾何的実現を通じて、XJC対応を構築する。この多様体は、既知の通り、有理的三次曲線で3-被覆される。
• ランク3のジョルダン代数の随伴写像を用いて、ℙⁿ⁻¹ 上に四次四次クリメナ変換を定義し、それが線形同値にすると、ある対合であることを示す。
• ヴェラの構成を用いて、ℒ(X) に属する有理写像 γ を上げ、新たな多様体 Xγ を得る。この Xγ は X の根核ゼロ拡張であり、Xγ が 3-有理的連結な多様体のクラスに属するための条件を特徴づける。
• ジョルダン代数の根核および半単純部分の理論を用いて、クリメナ変換や多様体の半単純ランクと次元を定義し、構造定理を可能にする。
• ジョルダン代数のノルム多項式を用いて、3次同型多項式を特徴づけ、このような多項式が線形同値の意味で、半単純ランク3のジョルダン代数のノルムであることを示す。
• Verra 拡張 Xγ が X(3,3) のクラスに属するための必要十分条件は、一般の三次曲線 C ⊂ X における γ の制限が、Gr(r, ℂ²ʳ) 内の直線へ埋め込まれることである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙ²ⁿ⁺¹ 内に埋め込まれた、非特異な n 次元射影的多様体（twisted cubics で3-有理的連結、有理的ノーマルスクリューを除く）、ℙⁿ⁻¹ 上の四次四次クリメナ変換、および複素数のランク3ジョルダン代数の間の明確な対応は何か？
• RQ2 多様体 X ∈ X(3,3) の Verra 拡張 Xγ が再び X(3,3) に属するための幾何的条件は何か？
• RQ3 ジョルダン代数の根核と半単純分解を用いて、クリメナ変換や 3-有理的連結多様体の半単純部分と次元を定義・分類する方法は何か？
• RQ4 四次四次クリメナ変換を定義する3次同型多項式の構造を、ジョルダン代数理論を用いて完全に特徴づけることができるか？
• RQ5 スプリット根核拡張は XJC 対応において果たす役割は何か？また、非スプリットの場合とは幾何的実現においてどのように異なるか？

主な発見

• 非特異な n 次元射影的多様体 X ⊂ ℙ²ⁿ⁺¹ で、twisted cubics によって3-有理的連結（有理的ノーマルスクリューを除く）であるもの、ℙⁿ⁻¹ 上の四次四次クリメナ変換、および n 次元の複素ジョルダン代数（ランク3）の間には、射影的同値、線形同値、および同型同値の意味で、自然な全単射が存在する。
• ℙ²ⁿ⁺¹ 内に埋め込まれた非特異な n 次元多様体 X が twisted cubics によって3-被覆され、かつ有理的ノーマルスクリューでない限り、それはランク3の複素ジョルダン代数上の twisted cubic と射影的に同値である。
• ℙⁿ⁻¹ 上の任意の四次四次クリメナ変換は、線形同値にとれば、ランク3のジョルダン代数（次元 n）の随伴写像である対合に一致する。
• 多様体 X ∈ X(3,3) の Verra 拡張 Xγ が再び X(3,3) に属するための必要十分条件は、一般の三次曲線 C ⊂ X における γ の制限が、Gr(r, ℂ²ʳ) 内の直線に埋め込まれることである。
• 四次四次クリメナ変換や 3-有理的連結多様体の半単純部分は、対応するジョルダン代数の半単純部分に一致し、半単純ランクと次元は、良好に定義された不変量である。
• 四次四次クリメナ変換を定義する3次同型多項式 f で、分岐超曲面が f によって切り出されるものについて、線形同値の意味で、半単純ランク3のジョルダン代数のノルムである。この結果により、既存の文献における知られている結果の新たな証明が得られる。