[論文レビュー] Extreme contractions on finite-dimensional polygonal Banach spaces

‎Debmalya Sain, Anubhab Ray+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Advanced Banach Space Theory参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限次元の多角形バナッハ空間における極端な収縮作用素が、単位球のn個の線形独立な極端点でそのノルムを達成することを示すことにより、それらを特徴づけている。また、極端な収縮作用素が厳密な凸空間に写像する場合、そのノルムは定義域の極端点でのみ達成され、ヒルバート空間を厳密な凸バナッハ空間の中で特徴づけるためにL-P性質を導入している。

ABSTRACT

We explore extreme contractions between finite-dimensional polygonal Banach spaces, from the point of view of attainment of norm of a linear operator. We prove that if $ X $ is an $ n- $dimensional polygonal Banach space and $ Y $ is any Banach space and $ T \in L(X,Y) $ is an extreme contraction, then $ T $ attains norm at $ n $ linearly independent extreme points of $ B_{X}. $ Moreover, if $ T $ attains norm at $ n $ linearly independent extreme points $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ of $ B_X $ and does not attain norm at any other extreme point of $ B_X, $ then each $ Tx_i $ is an extreme point of $ B_Y.$ We completely characterize extreme contractions between a finite-dimensional polygonal Banach space and a strictly convex Banach space. We introduce L-P property for a pair of Banach spaces and show that it has natural connections with our present study. We also prove that for any strictly convex Banach space $ X $ and any finite-dimensional polygonal Banach space $ Y, $ the pair $ (X,Y) $ does not have L-P property. Finally, we obtain a characterization of Hilbert spaces among strictly convex Banach spaces in terms of L-P property.

研究の動機と目的

• 有限次元の多角形バナッハ空間における極端な収縮作用素の構造を理解すること。
• このような空間におけるノルム達成集合が極端な収縮作用素とどのように関係するかを調査すること。
• 多角形バナッハ空間から厳密な凸空間への極端な収縮作用素を特徴づけること。
• バナッハ空間のペアに対するL-P性質を導入し、その分析を行うこと。
• L-P性質を用いて、厳密な凸バナッハ空間の中でヒルバート空間を特徴づけること。

提案手法

• 作用素 $T \in L(X,Y)$ のノルム達成集合 $M_T$ を分析し、特に極端点の集合 $E_X$ との交わりに注目する。
• n次元の多角形バナッハ空間では $B_X$ が有限個の極端点を持つことを利用して、ノルム達成の離散的解析が可能になることを利用している。
• 定義域の線形独立な極端点におけるノルム達成と極端な収縮作用素との同値性を応用している。
• ペア $(X,Y)$ に対するL-P性質を定義する：すべての極端な収縮作用素 $T \in L(X,Y)$ が $E_X$ を $E_Y$ に写像する。
• 背理法を用いて、$X$ が厳密な凸かつ $Y$ が有限次元の多角形バナッハ空間であるとき、$(X,Y)$ はL-P性質をもたないことを示している。
• 既知の $L(X,X)$ における極端な収縮作用素の結果とL-P性質を組み合わせ、$(X,X)$ がL-P性質をもつことによってヒルバート空間を特徴づける条件を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X$ が有限次元の多角形バナッハ空間であるとき、極端な収縮作用素 $T \in L(X,Y)$ が、$X$ の線形独立な極端点でノルムを達成する条件は何か？
• RQ2 極端な収縮作用素 $T$ が $X$ の極端点を $Y$ の極端点に写像するのはいつか？
• RQ3 L-P性質は、厳密な凸バナッハ空間の中でヒルバート空間を特徴づける際に果たす役割は何か？
• RQ4 L-P性質を用いて、$l_1^n$ と $l_p^n$ のような異なるバナッハ空間のクラスを区別できるか？
• RQ5 L-P性質は双対性や部分空間制限の下でどのように振る舞うのか、特に2次元部分空間においては？

主な発見

• $X$ が $n$ 次元の多角形バナッハ空間であり、$T \in L(X,Y)$ が極端な収縮作用素であるならば、$T$ は $B_X$ の $n$ 個の線形独立な極端点でノルムを達成する。
• ノルムが $n$ 個の線形独立な極端点 $x_1, \dots, x_n$ で達成され、それ以外では達成されない場合、各 $Tx_i$ は $B_Y$ の極端点である。
• 任意の有限次元の多角形バナッハ空間 $Y$ と厳密な凸空間 $X$ に対して、ペア $(X,Y)$ はL-P性質をもたない。
• ペア $(X,Y)$ がL-P性質をもつのは、すべての極端な収縮作用素 $T \in L(X,Y)$ が $T(E_X) \subseteq E_Y$ を満たすときである。
• 有限次元の厳密な凸バナッハ空間 $X$ がヒルバート空間であるための必要十分条件は、ペア $(X,X)$ がL-P性質をもつことである。
• 任意の厳密な凸バナッハ空間 $X$ の2次元部分空間 $Y$ がヒルバート空間であるための必要十分条件は、$(Y,Y)$ がL-P性質をもつことであり、これは $X$ がヒルバート空間であることを特徴づける。