[論文レビュー] Extreme Eigenvalues of Wishart Matrices: Application to Entangled Bipartite System

Satya N. Majumdar|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Random Matrices and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、固定トレース制約下でのWishart行列の極値固有値を分析することにより、二部量子系におけるもつれをランダム行列理論を用いて研究する。硬端末極限（M=N）における実、複素、クaternionのWishart行列について、最小固有値の正確な確率分布を導出する。その結果、有限サイズ効果のため、ランダムな純粋状態が最大もつれ状態である確率は極めて小さいことが明らかになる。

ABSTRACT

We discuss an application of the random matrix theory in the context of estimating the bipartite entanglement of a quantum system. We discuss how the Wishart ensemble (the earliest studied random matrix ensemble) appears in this quantum problem. The eigenvalues of the reduced density matrix of one of the subsystems have similar statistical properties as those of the Wishart matrices, except that their {\em trace is constrained to be unity}. We focus here on the smallest eigenvalue which serves as an important measure of entanglement between the two subsystems. In the hard edge case (when the two subsystems have equal sizes) one can fully characterize the probability distribution of the minimum eigenvalue for real, complex and quaternion matrices of all sizes. In particular, we discuss the important finite size effect due to the {\em fixed trace constraint}.

研究の動機と目的

• 二部量子系のランダムな純粋状態におけるもつれの統計的性質を理解すること。
• Wishart行列ともつれ量子系の縮約密度行列との間の関係を確立すること。
• 固定トレース制約下での極値固有値統計、特に最小固有値を特徴付けること。
• トレース正規化に起因する有限サイズ効果がもつれ尺度に与える影響を定量化すること。
• 最小固有値の分布を用いて、ランダムな量子状態が最大もつれ状態である確率を評価すること。

提案手法

• 二部もつれ系における部分系の縮約密度行列を、固定トレースを持つWishart行列としてモデル化する。
• Wishart行列の連続固有値分布を用いて、最小固有値の確率密度関数（pdf）を導出する。
• 大N漸近解析と硬端末（M=N）におけるベッセル関数の振る舞いを用いて、極値固有値統計を特徴付ける。
• 最大もつれに近い状態の確率を推定するため、累積確率 R_N(1/N - ε) を計算する。
• 3つのダイソンクラス（β=1,2,4）における最小固有値のpdfの正確な有限N表現を導出する。
• 正確な結果を用いて、1/Nに近い最大値におけるpdfの減衰を分析し、P_N(λ_min = x) ∼ (1 - Nx)^ν_β となることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定トレース制約下でのWishart行列における最小固有値の正確な確率分布は何か？
• RQ2 有限サイズ効果は、ランダムな量子状態が最大もつれ状態である可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 実、複素、クaternionのWishart行列について、硬端末極限（M=N）における最小固有値分布の振る舞いは何か？
• RQ4 最小固有値の累積確率が1/Nに近い領域で、系サイズにどのように依存するか？
• RQ5 なぜもつれエントロピーの一次モーメントに基づく結論は誤解を招くのか？また、確率分布の全貌はどのようにこの問題を解消するか？

主な発見

• 最小固有値の確率密度関数 P_N(λ_min = x, N) は、x = 1/N の近傍で (1 - Nx)^ν_β のように減衰し、ν_β はダイソン指数βに依存する。
• ε << 1/N の場合、累積確率 R_N(1/N - ε) ∼ (εN)^{ν_β + 1} となる。これは、最大もつれ状態である確率がNに指数的に依存して非常に小さいことを示している。
• 固定トレース制約に起因する有限サイズ効果は、ランダム状態が最大もつれ状態である可能性を強く抑制する。
• 正確な分布は、最小固有値が通常1/Nから大きく離れていることを示しており、von Neumannエントロピーの一次モーメントに基づく結論とは矛盾する。
• 結果は、硬端末極限（M=N）においてすべてのNおよびβ=1,2,4について正確であり、ν_1, ν_2, ν_4 はNを用いて明示的に表される。
• これらの結果は、典型的なランダムな純粋状態は、平均的には最大もつれ状態に見えるものの、実際には最大もつれ状態ではないことを示唆している。