[論文レビュー] Extreme Value Laws for non stationary processes generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 35被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、逐次的および確率的力学系から生じる非定常確率過程に対する一般化された極値理論を展開し、従来の一様混合条件を緩和する。均等に拡張する写像および確率的繊維系に対して極値法則を確立し、周期性と到達時間の挙動に応じてワイブル分布またはガブリエル分布への収束を示す。

ABSTRACT

We develop and generalize the theory of extreme value for non-stationary stochastic processes, mostly by weakening the uniform mixing condition that was previously used in this setting. We apply our results to non-autonomous dynamical systems, in particular to {\\em sequential dynamical systems}, given by uniformly expanding maps, and to a few classes of random dynamical systems. Some examples are presented and worked out in detail.

研究の動機と目的

• 従来必要とされた一様混合条件を緩和することで、非定常過程に対する極値理論（EVT）を一般化すること。
• 特に非定常測度の下で生成される均等に拡張する写像からなる逐次的力学系に対して、極値法則を確立すること。
• 非定常測度を伴う確率的繊維力学系（確率的部分シフトおよび双曲的基底力学系を含む）に対してもEVTを拡張すること。
• 不変測度が存在しない非自己同型系に適用可能な理論的枠組みを提供し、稀な事象の統計的解析を可能にすること。
• 具体的な例（β変換、多次元写像など）において極値収束の条件を検証すること。

提案手法

• 非定常過程における依存性を解消するためのブロック構成法を用い、極値極限定理の適用を可能にする。
• 極値的依存性を制御するため、D-混合およびD’-混合条件（D_qおよびD’_q）を適用し、q > 2h₀/h₁を満たすことで十分な衰減を保証する。
• 時間スケールに合わせた閾値u_nおよびw_nを定義し、w_n ≈ τμ(φ > u_n)とすることで、古典的EVTの正規化と整合させる。
• 観測関数φを、点xをシリンダーセットC_n(ζ)へ写像する形に調整し、φ(x) = g(μ(C_n(x)(ζ)))として、稀な事象への到達時間の追跡を可能にする。
• コロラリー5.1を適用し、P-ほとんど everywhere ωに対して条件(2.2)、D_q(u_n,i)、D’_q(u_n,i)、および(2.8)の検証により極限分布を導出する。
• 均等に拡張する写像の遷移作用素およびスペクトルギャップの性質を用い、相関の指数的減衰および記憶の消失を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次的力学系から生じる非定常過程が、どのような条件下で極値法則を満たすか？
• RQ2 点ζの周期性が、逐次的系における極値分布の極限にどのように影響するか？
• RQ3 非定常測度を伴う確率的繊維力学系に対しても、極値法則を確立できるか？
• RQ4 D_qおよびD’_qで定量化される混合速度が、極値分布への収束を保証する役割を果たすか？
• RQ5 到達時間分布およびシリンダーセットの測度が、非定常設定における極値的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 非周期的点ζに対しては、w_n個の観測値の最大値の極限分布はGumbel分布に収束する：limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−τ)。
• 周期pの周期的点ζに対しては、極限分布はワイブル型法則に従う：limₙ→∞ μ^ω(M_{w_n} ≤ u_n) = exp(−θτ)，ここでθ = limₙ→∞ μ(C_n(ζ) ackslash C_{n+p}(ζ)) / μ(C_n(ζ))。
• D_q(u_n,i)の条件はq > 2h₀/h₁を満たすことで成立し、極値過程における依存性の十分な衰えを保証する。
• D’_q(u_n,i)の検証は、相関の衰えおよび均等に拡張する系における遷移作用素のスペクトルギャップに依存する。
• 時間スケールw_n = [τμ(φ > u_n)]は適切な正規化を保証し、古典的EVTのスケーリングと整合する。
• 結果はβ変換、確率的加法的ノイズ、多次元均等に拡張する写像、被覆写像などの特殊ケースに適用可能である。