[論文レビュー] Extreme value statistics for truncated Pareto-type distributions

Jan Beirlant, Isabel Fraga Alves+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、右側切断されたパレート型分布に対する頑健な極値推定フレームワークを提案する。これは、古典的なヒル推定量および最尤推定量（MLE）を、切断点が未知の右側切断データに拡張したものである。本稿では、切断パレートQ-Qプロットと、切断および非切断モデルの両方で一貫性と漸近正規性を保つトリムド推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ を導入した。理論的およびシミュレーション的検証により、切断状況下での性能向上が示された。

ABSTRACT

Recently attention has been drawn to practical problems with the use of unbounded Pareto distributions, for instance when there are natural upper bounds that truncate the probability tail. Aban, Meerschaert and Panorska (2006) derived the maximum likelihood estimator for the Pareto tail index of a truncated Pareto distribution with a right truncation point $T$. The Hill (1975) estimator is then obtained by letting $T o \infty$. The problem of extreme value estimation under right truncation was also introduced in Nuyts (2010) who proposed a similar estimator for the tail index and considered trimming of the number of extreme order statistics. Given that in practice one does not always know whether the distribution is truncated or not, we discuss estimators for the Pareto index and extreme quantiles both under truncated and non-truncated Pareto-type distributions. We also propose a truncated Pareto QQ-plot in order to help deciding between a truncated and a non-truncated case. In this way we extend the classical extreme value methodology adding the truncated Pareto-type model with truncation point $T o \infty$ as the sample size $n o \infty$. Finally we present some practical examples, asymptotics and simulation results.

研究の動機と目的

• 自然な上限があるため、保険や環境リスクの分野など、尾部が切断される応用において、無限大に拡張するパレートモデルの実用的限界を解消すること。
• 切断および非切断パレート型分布の両方において、パレート尾指数 $\alpha$ の一貫性と漸近正規性を持つ推定量を開発すること。
• 切断および非切断の重尾データを実証的に区別できる、切断パレートQ-Qプロットを提案すること。
• 下位極値を除去するトリミングの影響が、尾指数推定量のバイアスと分散に与える影響を調査し、頑健性を向上させること。
• 切断点 $T$ が未知であり、データから推定可能であるという仮定の下で、新しい推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の漸近理論を確立すること。

提案手法

• Abanら（2006）の切断パレート分布の最尤推定量（MLE）を、切断点 $T$ が未知の状況に適応し、最大 $k+1$ 個の順序統計量を用いる。
• トリムド和に基づく修正推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ を提案し、方程式 $H_{r,k,n} = \frac{1}{\alpha} + \frac{R_{r,k,n}^{\alpha} \log R_{r,k,n}}{1 - R_{r,k,n}^{\alpha}}$ を解く。ここで $R_{r,k,n} = X_{n-k,n}/X_{n-r+1,n}$ である。
• ニュートン・ラプソン反復法を用いて $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の推定方程式を数値的に解き、計算を効率化する。
• 順序統計量の比に基づく、切断パレートQ-Qプロットを導入し、データが切断または非切断パレートモデルに従うかどうかを視覚的に評価する。
• $k \to \infty$, $n \to \infty$, $k/n \to 0$, および $nD_T \to 0$ の極限下で $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の漸近分布を導出する。ここで $D_T$ は切断点からの相対的距離を測る。
• 対数尤度関数の2次近似を適用し、スローリング関数を用いた極値理論を用いて、バイアスおよび分散成分を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パレート尾部が右側で切断されている状況、特に切断点 $T$ が未知の場合、極値推定はどのように適合できるか？
• RQ2 上位順序統計量をトリムすることの、尾指数推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ のバイアスおよび分散に与える影響は何か？
• RQ3 切断パレートQ-Qプロットのような診断ツールは、切断および非切断パレート型分布を信頼性高く区別できるか？
• RQ4 極限 $T \to \infty$（非切断状況）における $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の漸近分布はどのように振る舞い、古典的ヒル推定量と比較してどうなるか？
• RQ5 有限サンプル下での新しい推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の性質は、切断および非切断モデルの両方でどうなっており、既存手法と比較してどうか？

主な発見

• 提案された推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ は、切断および非切断パレート型モデルの両方で一貫性と漸近正規性を示し、制限分布はトリミングパラメータ $r$ に依存する。
• 下位極値をトリムすること（$r$ を大きくすること）により、$\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の分散は低減するが、バイアスは増加する。これは、図8にプロットされた関数 $\sigma^2(\lambda)$ および $\beta(\lambda)$ によって確認された。
• トリミングパラメータ $r=1$ の場合、$\hat{\alpha}_{r,k,n}$ の漸近バイアスは古典的ヒル推定量と同程度のオーダーであるが、$r$ を大きくするとバイアスは減少するが、効率性の損失を伴う。
• 切断パレートQ-Qプロットは、非切断モデルからの逸脱を効果的に可視化でき、直線からの明確な逸脱が切断を示している。
• $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ は $\sqrt{k}$ のレートで真の $\alpha$ に収束し、バイアス項は $b^*((C_T n/k)^{1/\alpha})$ に比例する。ここで $b^*$ は第二階層の挙動に関連するスローリング関数である。
• $T \to \infty$ の極限では、推定量 $\hat{\alpha}_{r,k,n}$ は古典的ヒル推定量 $H_{k,n}$ に簡略化され、標準的な極値フレームワークとの一貫性が確認された。