[論文レビュー] Extreme value statistics of correlated random variables

Satya N. Majumdar, A. Pal|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、相関を持つ確率変数の極値統計（EVS）について、統計物理学および確率論分野における最近の進展に焦点を当て、包括的な概説を提供する。独立同一分布に従う変数の古典的EVSをレビューし、弱い相関を持つ系を議論し、特にWishartおよびLaguerreアンサンブルにおける最大固有値について、厳密な結果を提示する。典型的なフラクチュエーションはTracy-Widom分布に従う一方、大偏差は非ガウス型のレート関数に従うことが示され、相関を持つEVSにおける普遍性の問題が浮き彫りになる。

ABSTRACT

Extreme value statistics (EVS) concerns the study of the statistics of the maximum or the minimum of a set of random variables. This is an important problem for any time-series and has applications in climate, finance, sports, all the way to physics of disordered systems where one is interested in the statistics of the ground state energy. While the EVS of uncorrelated variables are well understood, little is known for strongly correlated random variables. Only recently this subject has gained much importance both in statistical physics and in probability theory. In this note, we will first review the classical EVS for uncorrelated variables and discuss few examples of correlated variables where analytical progress can be made.

研究の動機と目的

• 相関を持つ確率変数の極値統計（EVS）について、応用が広がる急速に発展している分野への教育的入門を提供すること。
• 独立同一分布（i.i.d.）変数の古典的EVSと、解析的進展が限られる強い相関を持つ系の複雑な場合との間のギャップを埋めること。
• WishartおよびLaguerreアンサンブルにおける最大固有値といった、正確に解ける重要なモデルを強調し、正確な分布関数および大偏差関数の導出を示すこと。
• 強い相関を持つ系における極値統計の普遍性クラスを特定するという未解決問題に焦点を当てる。
• ランダム行列理論および関連物理系において、典型的なフラクチュエーション（Tracy-Widom）と非典型的大きなフラクチュエーション（大偏差関数）の相互作用を提示すること。

提案手法

• i.i.d.確率変数の古典的極値理論をレビューし、3つの極限分布（Fréchet、Gumbel、Weibull）を含む。
• 極値統計を計算する基盤として、$ P(x_1, x_2, ..., x_N) $ の同時確率分布を導入し、i.i.d.仮定の下での簡略化を示す。
• WishartおよびLaguerreアンサンブルにおける最大固有値 $ \text{max}(/boldsymbol{\nu}) $ を、$ z $ にハードウォールを設けた状態と設けない状態の分配関数の比を用いて分析し、2つの異なるスケールが存在することを明らかにする：典型的なフラクチュエーションは $ \mathcal{O}(N^{-2/3}) $、大偏差は $ \mathcal{O}(1) $。
• 典型的なフラクチュエーションのTracy-Widom分布 $ \mathcal{F}_\beta(x) $ を導出する：$ \lambda_{\text{max}} = \sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} N^{-2/3} \chi_\beta $、$ \beta = 1,2,4 $ に対して有効で、非ガウス型の非対称な裾を持つ。
• 非典型的なフラクチュエーションのための大偏差レート関数 $ \Phi_-(w) $ と $ \Phi_+(w) $ を計算する：$ w \to \sqrt{2}^- $ のとき $ \Phi_-(w) \sim \frac{1}{6\sqrt{2}} (\sqrt{2} - w)^3 $、$ w \to \sqrt{2}^+ $ のとき $ \Phi_+(w) \sim \frac{2^{7/4}}{3} (w - \sqrt{2})^{3/2} $。
• 典型的なフラクチュエーションのための漸近的確率密度関数（PDF）を用いる：$ |w - \sqrt{2}| \sim \mathcal{O}(1) $ のとき $ P(w,N) \approx \exp[-\beta N^2 \Phi_\pm(w)] $、$ \mathcal{O}(N^{-2/3}) $ のフラクチュエーションのとき $ \sqrt{2} N^{2/3} \mathcal{F}_\beta'\big[\sqrt{2} N^{2/3}(w - \sqrt{2})\big] $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関を持つ確率変数の極値統計は、i.i.d.変数のそれとどのように異なるか？
• RQ2 WishartおよびLaguerreランダム行列アンサンブルにおける最大固有値の正確な分布は何か？
• RQ3 最大固有値の非典型的大きなフラクチュエーションを記述する大偏差関数 $ \Phi_-(w) $ と $ \Phi_+(w) $ は何か？
• RQ4 強い相関を持つ系における極値統計の普遍性クラスを特定できるか？
• RQ5 典型的なフラクチュエーション（Tracy-Widom）と大偏差が同じ系に共存する場合、それぞれのスケーリング領域はどのように異なるか？

主な発見

• WishartおよびLaguerreアンサンブルにおける最大固有値 $ \lambda_{\text{max}} $ において、典型的なフラクチュエーションは $ \mathcal{O}(N^{-2/3}) $ のスケールで、Tracy-Widom分布 $ \mathcal{F}_\beta(x) $ に従い、$ \beta = 1,2,4 $ に対して明示的な表現が知られている。
• Tracy-Widom分布の裾の挙動は非対称である：$ x \to -\infty $ のとき $ \mathcal{F}_\beta'(x) \sim \exp[-\frac{\beta}{24}|x|^3] $、$ x \to +\infty $ のとき $ \sim \exp[-\frac{2\beta}{3}x^{3/2}] $。
• 大きさ $ \mathcal{O}(1) $ の非典型的な大偏差フラクチュエーションは、大偏差関数によって記述される：$ w \to \sqrt{2}^- $ のとき $ \Phi_-(w) \sim \frac{1}{6\sqrt{2}} (\sqrt{2} - w)^3 $、$ w \to \sqrt{2}^+ $ のとき $ \Phi_+(w) \sim \frac{2^{7/4}}{3} (w - \sqrt{2})^{3/2} $。
• 最大固有値 $ \lambda_{\text{max}} $ の全確率密度関数（PDF）は漸近的に区分的である：$ \mathcal{O}(N^{-2/3}) $ のフラクチュエーションではTracy-Widom密度に従い、$ \mathcal{O}(1) $ の逸脱では指数関数的大偏差形をとる。
• $ z $ にハードウォールを設けた状態と設けない状態の分配関数の比を用いることで、固有値統計に2つの異なるスケールが存在することが判明し、典型的および非典型的なフラクチュエーションの両方の正確な計算が可能になる。
• 特定のモデルにおいて進展が見られる一方、強い相関を持つ系における極値統計の普遍性は、統計物理学および確率論において未解決で困難な問題のまま残っている。