[論文レビュー] Extreme values of $|ζ(1+it)|$

Andrew Granville, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2005

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、確率的モデルとオイラー積近似を用いて、$|\zeta(1+it)|$ の極値分布を確立し、大きな値の頻度が正確な指数的減衰に従うことを示している。密度モデルの予想に基づき、$\max_{t \in [T,2T]} |\zeta(1+it)| \sim e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T + C_1 + o(1))$ を証明し、$t$ の正の割合に対して、$e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$ の下界を提供している。

ABSTRACT

Improving a result of N. Levinson, we exhibit large and small values of $|ζ(1+it)|$.

研究の動機と目的

• 大きな $t$ における $|\zeta(1+it)|$ の極値の頻度分布を特定すること。
• 区間 $[T,2T]$ における $|\zeta(1+it)|$ の最大値の予想される漸近的挙動を確立すること。
• $L$-関数の $s=1$ における $1/|\zeta(1+it)|$ および $L$-関数への結果の拡張。
• 素数上の確率的乗法的関数に基づく確率的モデルを用いて、予想される分布を検証すること。
• $[0,T]$ 内の $t$ の正の割合が、予想される最大値に近い値を達成することを証明すること。

提案手法

• 区間 $[T,2T]$ 内の $t$ で $|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ または $< \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$ となる割合を測る分布関数 $\Phi_T(\tau)$ と $\Psi_T(\tau)$ を定義する。
• 独立で一様な単位円上の確率変数 $X(p)$ を用いた確率的モデル $L(1,X) = \prod_p (1 - X(p)/p)^{-1}$ を用いる。
• $1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20$ の範囲で、確率的モデルの裾確率 $\Phi(\tau)$ と $\Psi(\tau)$ が、$\Phi_T(\tau)$ と $\Psi_T(\tau)$ の漸近的挙動と一致することを確立する。
• 鳩の巣原理を用いて、$|\zeta(1+it)|$ が $e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$ を超えるような $t$-値の集合を構成する。
• ディリクレ多項式近似 $\log \zeta(\sigma + it)$ の誤差項を、ペロンの公式と零点の存在しない領域を用いて制御する。
• モーメント推定と大スクリーブ不等式を用いて、素数を法とするキャラクター間の相関を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな $\tau$ に対して、$|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ を満たす $t$ の頻度は何か？
• RQ2 $[T,2T]$ 上での $|\zeta(1+it)|$ の予想される最大値は、極値の観察された分布によって裏付けられるか？
• RQ3 $1/|\zeta(1+it)|$ の極値はどのように振る舞い、その頻度は何か？
• RQ4 $|\zeta(1+it)|$ の分布的性質は、確率的オイラー積のそれとどの程度一致するか？
• RQ5 同様の結果は、大きな素数 $q$ を法とする非自明なディリクレ指標 $\chi$ に対して $|L(1,\chi)|$ に拡張可能か？

主な発見

• $1 \ll \tau \leq \log_2 T - 20$ の範囲で、$|\zeta(1+it)| > e^{\gamma}\tau$ を満たす $t \in [T,2T]$ の割合は、$\exp\left(-\frac{2e^{\tau - C - 1}}{\tau}\left(1 + O\left(\frac{1}{\tau^{1/2}} + \left(\frac{e^{\tau}}{\log T}\right)^{1/2}\right)\right)\right)$ に漸近的に一致する。
• 同様の漸近的挙動は、$|\zeta(1+it)| < \frac{\pi^2}{6e^{\gamma}\tau}$ を満たす $t$ の割合に対しても成り立ち、極値尾部挙動の対称性を示している。
• $A \geq 10$ に対して、任意の $A$ に対して、$|\zeta(1+it)| \geq e^{\gamma}(\log_2 T + \log_3 T - \log_4 T - \log A + O(1))$ を満たす $[0,T]$ 内の $t$ の集合が、測度 $T^{1 - 1/A}$ 以上である。
• 指数部の定数 $C$ は、$C = \int_0^2 \log I_0(t) \frac{dt}{t^2} + \int_2^\infty (\log I_0(t) - t) \frac{dt}{t^2}$ で与えられ、$I_0(t)$ は変形ベッセル関数である。
• 結果は、$T$ を $q$ に置き換えることで、大きな素数 $q$ を法とする非自明なディリクレ指標 $\chi$ に対して $|L(1,\chi)|$ にそのまま拡張可能である。
• $q \in [P,2P]$ にわたる平均化を行うと、$|L(1,\chi)|$ の分布関数は範囲 $1 \ll \tau \leq \log_2 P + \log_3 P - O(1)$ でよく近似され、誤差項が改善されている。