[論文レビュー] Extremely chaotic Boolean networks

Winfried Just, Germán Enciso|ArXiv.org|Nov 1, 2008

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界入力、偏り付きで能動的な規制関数、および少ない負のフィードバックループといった秩序の傾向を助長する強い制約下にあっても、ブールネットワークが指数関数的に長い周期軌道を示す極めて混沌とした挙動を示しうることを示している。主な結果は、このようなネットワークが、他の変数の遅延コピーとして機能する多数の変数を含む必要があることを証明しており、構造的に小さなチューリングマシンと類似した形をしている。

ABSTRACT

It is an increasingly important problem to study conditions on the structure of a network that guarantee a given behavior for its underlying dynamical system. In this paper we report that a Boolean network may fall within the chaotic regime, even under the simultaneous assumption of several conditions which in randomized studies have been separately shown to correlate with ordered behavior. These properties include using at most two inputs for every variable, using biased and canalyzing regulatory functions, and restricting the number of negative feedback loops. We also prove for n-dimensional Boolean networks that if in addition the number of outputs for each variable is bounded and there exist periodic orbits of length c^n for c sufficiently close to 2, any network with these properties must have a large proportion of variables that simply copy previous values of other variables. Such systems share a structural similarity to a relatively small Turing machine acting on one or several tapes.

研究の動機と目的

• ランダムブールネットワークにおける秩序の動的を誘導する要因の組み合わせが、依然として極めて混沌とした挙動を許容するかどうかを調査すること。
• 構造的制約下でも、$ c $-混沌（指数関数的に長い軌道）が持続する条件を厳密に特定すること。
• 規制関数が偏り付きで能動的であり、負のフィードバックループが少ない場合の、$ c $-混沌の構造的意味を分析すること。
• これらの制約下でも、$ c $-混沌なネットワークが、他の変数から時間遅延を伴って値をコピーまたは反転する多数の変数を含む必要があることを確立すること。
• このような混沌としたネットワークと、少数のコア変数とテープを備えたブール遅延系との間の同値性を形式化すること。

提案手法

• 周期軌道の長さが $ c^n $ 以上（$ c $ が 2 に非常に近い）であるブールネットワークを $ c $-混沌的と定義する。
• 時間遅延を伴う他の変数の直接的または反転コピーである「メモリ変数」の概念を導入し、読み取り専用テープの概念を用いる。
• 動的が遅延入力によって支配されるブール遅延系 $ (Σ, f) $ を構築する。ここで $ f_i(t) = g_i(\text{遅延入力}) $ であり、遅延 $ \ell(k) $ はテープ長を表す。
• 十分に $ c $ が 2 に近い $ c $-混沌的 $ \varepsilon $-偏り付き $ (b,r) $-ブール系が、高々 $ \alpha n $ 個の変数を持つ遅延系に同値であることを証明する。
• テープ長の最小公倍数に関する数論的評価を用いて、読み取り専用テープが長期間の軌道を支えることができないことを示し、その総サイズが非線形である場合に限る。
• 分割された整数の最大最小公倍数に関する漸近的推定を適用し、読み取り専用部分の異なる状態数を制限することで、その部分に多数の変数が存在する場合に矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 規制関数が最大2入力に制限される場合、ブールネットワークが $ c $ が 2 に任意に近い値でも $ c $-混沌的であることは可能か？
• RQ2 偏り、能動的関数、および少ない負のフィードバックループの組み合わせが、指数関数的に長い軌道の存在を防ぐのか？
• RQ3 これらの制約下で $ c $-混沌的ネットワークに必要な構造的特徴は何か？
• RQ4 他の変数からの時間遅延を伴う値のコピーまたは反転を行う変数の存在が、全体の動的挙動に与える影響は何か？
• RQ5 このようなネットワークが、少数のコア変数とテープを備えた等価なブール遅延系にどの程度まで簡略化可能か？

主な発見

• 有界入力、偏り付きで能動的な関数、および少ない負のフィードバックループといった秩序を助長する強い制約下にあっても、$ c $-混沌的挙動（$ c $ が 2 に任意に近い）を示すブールネットワークは依然として存在する。
• 十分に $ c $ が 2 に近い $ c $-混沌的 $ n $ 次元 $ \varepsilon $-偏り付き $ (b,r) $-ブール系が、任意の $ \alpha > 0 $ に対して高々 $ \alpha n $ 個の変数を持つブール遅延系に同値である必要がある。
• 他の変数の直接的または反転コピー（すなわち、遅延コピー）として機能する変数の数は、少なくとも $ (1 - \alpha)n $ 個である必要があり、これはネットワークの大部分がテープベースの記憶システムとして機能することを示唆する。
• 読み取り専用テープ（固定遅延を伴い、他の変数からの値をコピーまたは反転する変数）が支えることができる異なる状態数は、$ 2 \cdot \text{lcm}(\{m_1,\dots,m_v\}) $ 以下であり、ここで $ \sum m_i = |R(g)| $ である。これは、その寄与が軌道長に制限されることを意味する。
• 読み取り専用変数の数が任意の固定 $ \delta > 0 $ に対して $ \delta n $ を超える場合、最大軌道長は $ 2^{(1-\delta)n} \cdot e^{\sqrt{n \ln n}(1+o(1))} $ 以下に抑えられ、$ c > 2^{1-\delta} $ かつ十分に大きな $ n $ に対しては $ c^n $ よりも小さくなる。
• ゆえに、$ c $ が 2 に近い $ c $-混沌は、このようなメモリ変数の数が大きく、読み取り専用部分のサイズが非線形でない場合にのみ可能であり、その結果、システムはテープを備えた小さなチューリングマシンを模倣することを余儀なくされる。