[論文レビュー] Extremes of local times for simple random walks on symmetric trees

Yoshihiro Abe|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、深さ $n$ の $b$-分木上の単純対称ランダムウォークの局所時刻の極値挙動を研究し、深さ $r_n$ の部分木における局所時刻の最大値の位置と適切に中心化された最大値を符号化する点過程が、強度 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$ のコックス過程に弱収束することを示している。ここで $Z_\infty$ は臨界の確率的乗法的カスケード測度である。帰結として、葉にわたる局所時刻の最大値は、確率的にシフトされたガブリエル分布に分布収束する。

ABSTRACT

We consider local times of the simple random walk on the $b$-ary tree of depth $n$ and study a point process which encodes the location of the vertex with the maximal local time and the properly centered maximum over leaves of each subtree of depth $r_n$ rooted at the $(n-r_n)$ level, where $(r_n)_{n \geq 1}$ satisfies $\lim_{n o \infty} r_n = \infty$ and $\lim_{n o \infty} r_n/n \in [0, 1)$. We show that the point process weakly converges to a Cox process with intensity measure $αZ_{\infty} (dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}~y}dy$, where $α> 0$ is a constant and $Z_{\infty}$ is a random measure on $[0, 1]$ which has the same law as the limit of a critical random multiplicative cascade measure up to a scale factor. As a corollary, we establish convergence in law of the maximum of local times over leaves to a randomly shifted Gumbel distribution.

研究の動機と目的

• 単純ランダムウォークの $b$-分木における極値局所時刻の漸近的分布を分析すること。
• 深さ $r_n$ の部分木における最大局所時刻を持つ頂点を符号化する点過程の構造を理解すること。
• この点過程が臨界の確率的乗法的カスケード測度 $Z_\infty$ によって駆動されるコックス過程に弱収束することを確立すること。
• 葉にわたる局所時刻の最大値の極限分布を導出し、極値理論と関連付けること。

提案手法

• 深さ $r_n$ の部分木（レベル $n - r_n$ に根を持つ）における空間的位置 $\sigma(\text{argmax})$ と中心化された最大局所時刻を記録する点過程 $\Xi_{n,t}^{(m)}$ を定義する。
• 収束を安定化させるために、$\sqrt{\log b}\, n$、$\log n$、および $\log((\sqrt{t}+n)/\sqrt{t})$ を含む中心化列 $a_n(t)$ を用いる。
• 一般化された第二のレイ・ナイト定理を用いて局所時刻とガウス場を関連付け、分枝ランダムウォーク（BRW）と接続する。
• 導出マルティンゲール $D_\infty$ と臨界の確率的乗法的カスケード測度 $Z_\infty$ の収束を活用して、極限強度測度を特徴付ける。
• 大偏差推定とカップリングの議論を用いて、重複する部分木における同時最大値の確率を制御する。
• ヒット時刻の推定とブラウン運動近似を用いた推定を活用し、モーメントおよび相関の有界性を確立することで、弱収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木の深さ $n \to \infty$ のとき、対称木における部分木の極値局所時刻の点過程は弱収束するか？
• RQ2 $b$-分木における局所時刻の極値点過程の極限強度測度は何か？
• RQ3 葉にわたる局所時刻の最大値は漸近的にどのように振る舞い、ガブリエル分布に収束するか？
• RQ4 臨界の確率的乗法的カスケード測度 $Z_\infty$ は、極値局所時刻の空間的構造を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $r_n \to \infty$ かつ $r_n/n \in [0,1)$ の一般のスケーリングのもとで収束は確立可能か？

主な発見

• 深さ $r_n$ の部分木における局所時刻の位置と中心化された最大値を符号化する点過程 $\Xi_{n,t}^{(m)}$ は、強度測度 $\alpha Z_\infty(dx) \otimes e^{-2\sqrt{\log b}\, y}dy$ のコックス過程に弱収束する。ここで $\alpha > 0$ は定数である。
• 極限の確率測度 $Z_\infty$ は、スケール因子を除いて、臨界の確率的乗法的カスケード測度の極限と同じ分布を持つ。
• 葉にわたる局所時刻の最大値は、確率的にシフトされたガブリエル分布に分布収束する。これは、対数相関場における普遍性を裏付ける。
• 中心化列 $a_n(t)$ は、最大ヒット時刻の増大と局所時刻場のスケーリングを考慮して明示的に構成されている。
• BRWの最大値の尾確率推定に、$e^{-2\sqrt{\log b}\, y}$ および $e^{-c y^2/n}$ を含む境界を用いて、極値局所時刻事象の確率を制御する。
• 収束は条件 $\lim_{n\to\infty} r_n = \infty$ および $\lim_{n\to\infty} r_n/n \in [0,1)$ の下で成立し、漸近的安定性を確保する十分な部分木の深さが保証される。