[論文レビュー] Extremes of Order Statistics of Stationary Processes

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Albinの条件の下で、n個のi.i.d.定常過程のr番目の順序統計量プロセスが時間区間[0,T]にわたって高いしきい値uを超える確率の正確な漸近展開を導出する。歪正規過程の尾部漸近的性質と、ガウス過程の最小値におけるガブメル極限定理を確立し、LiとShaoの正規比較補題を極値の順序統計量に拡張する。

ABSTRACT

Let $\{X_i(t),t\ge0\}, 1\le i\le n$ be independent copies of a stationary process $\{X(t), t\ge0\}$. For given positive constants $u,T$, define the set of $r$th conjunctions $ C_{r,T,u}:= \{t\in [0,T]: X_{r:n}(t) > u\}$ with $X_{r:n}(t)$ the $r$th largest order statistics of $X_1(t), \ldots , X_n(t), t\ge 0$. In numerous applications such as brain mapping and digital communication systems, of interest is the approximation of the probability that the set of conjunctions $C_{r,T,u}$ is not empty. Imposing the Albin's conditions on $X$, in this paper we obtain an exact asymptotic expansion of this probability as $u$ tends to infinity. Further, we establish the tail asymptotics of the supremum of a generalized skew-Gaussian process and a Gumbel limit theorem for the minimum order statistics of stationary Gaussian processes. As a by-product we derive a version of Li and Shao's normal comparison lemma for the minimum and the maximum of Gaussian random vectors.

研究の動機と目的

• 時間区間[0,T]にわたってr番目の順序統計量プロセスが高いしきい値uを超える確率の正確な漸近展開を導出すること。
• LiとShaoの正規比較補題をガウス確率ベクトルの最小値および最大値に拡張すること。
• 歪正規過程の順序統計量プロセスの上界の尾部漸近的性質を確立すること。
• 定常ガウス過程の最小順序統計量におけるガブメル極限定理を証明すること。
• FMRI、脳マッピング、およびレアな結合事象を含むデジタル通信分野における応用の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 定常過程XにAlbinの条件（ガブメルMDA、条件付き極限、一時的超過）を課す。
• 時間スケール変換と条件付き極限定理を用いて、順序統計量の超過行動を分析する。
• LiとShaoの正規比較補題の一般化形を用いて、ガウスベクトルの同時尾部確率の差を制御する。
• u→∞におけるP(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)の正確な漸近展開を導出する。
• 極値理論を用いて、定常ガウス過程の最小値にガブメル極限定理を確立する。
• Slepianの不等式と積分バウンドを用いて、極値順序統計量における尾部差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常過程がAlbinの条件を満たすとき、u→∞におけるP(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 歪正規過程の尾部特性は、その順序統計量の上界にどのように影響するか？
• RQ3 LiとShaoの正規比較補題は、ガウス確率ベクトルの最小値および最大値の順序統計量に拡張可能か？
• RQ4 高しきい値における定常ガウス過程の最小順序統計量の極限分布は何か？
• RQ5 一般化されたAlbin定数は、結合確率の漸近的近似にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、Albinの条件の下で、u→∞におけるP(C_{r,T,u} ≠ ∅) = P(sup_{t∈[0,T]} X_{r:n}(t) > u)の正確な漸近展開を導出する。
• 歪正規過程の順序統計量プロセスの上界の尾部漸近的性質が確立され、ガウスモデルを超える結果が得られる。
• 定常ガウス過程の最小順序統計量におけるガブメル極限定理が証明され、Gumbel分布への収束が確認される。
• ガウス確率ベクトルの最小値および最大値の順序統計量に適応した、LiとShaoの正規比較補題の新バージョンが導出される。
• 同時尾部確率の差のバウンドには、n u^{-2(n-1)} exp(-n u^2 / (1 + ρ_{il}))に比例する項が含まれており、nおよびuに関して指数的減少が示される。
• 証明は、相関構造を変化させるガウス過程の族を用いた確率的カップリングに依拠しており、精密な尾部比較が可能になる。