[論文レビュー] Extremes of $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes

Yizao Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$q$-Ornスタイン＝ウーレンバック過程（$q \in (-1,1)$）の極値に関する2つの極限定理を確立する。これは、有界状態空間を持つ定常的でジャンプ・拡散的マルコフ過程の族である。境界における接続過程の弱収束—正の自己相似マルコフ過程—を用いて、二重和法を用いて漸近的巡回確率におけるピケンズ定数の明示的公式を導出し、適切なスケーリングの下で独立同分布のコピーの最小値が、新たな半最小安定過程にブラウン＝レズニック型の弱収束を示すことを証明する。

ABSTRACT

The $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes, $q\in(-1,1)$, are a family of stationary Markov processes that converge weakly to the standard Ornstein-Uhlenbeck process as $q$ tends to 1. It has been noticed recently that in terms of path properties, however, for each $q$ fixed the $q$-Ornstein-Uhlenbeck process behaves qualitatively different from their Gaussian counterpart in several aspects. Here, two limit theorems on the extremes of $q$-Ornstein-Uhlenbeck processes are established. Both results are based on the weak convergence of the tangent process at the lower boundary, a positive self-similar Markov process little investigated so far in the literature. The first result is the asymptotic excursion probability established by the double-sum method, with an explicit formula for the Pickands constant in this context. The second result is a Brown-Resnick-type limit theorem on the minimum process of i.i.d. copies. With appropriate scalings in both time and magnitude, a new semi-min-stable process arises in the limit.

研究の動機と目的

• $q$-オーレンシュタイン＝ウーレンバック過程の極値的パス挙動を分析すること。これは非ガウス的で、有界であり、カウチ型の局所的挙動を示す。
• 二重和法を用いて、固定区間における漸近的巡回確率を確立すること。非ガウス的状況下でピケンズ定数の明示的公式を必要とする。
• 時間と大きさの両方のスケーリングの下で、独立同分布のコピーの最小過程に対する弱極限定理を導出すること。
• 極限過程を、境界における接続過程から生じる新たな半最小安定過程として特徴づけること。これは以前に十分に研究されていない正の自己相似マルコフ過程である。

提案手法

• 接続過程の弱収束に依存して、漸近的巡回確率を導くために二重和法の応用。
• 特に、不変測度 $w^{1/2}dw$ を持つ正の自己相似マルコフ過程である接続過程を用いて、状態空間の境界 $b_q^\pm$ 付近の局所的挙動を分析する。
• 極値挙動の漸近的解析を通じて、$q$-オーレンシュタイン＝ウーレンバック過程の文脈におけるピケンズ定数の明示的公式を導出する。
• 時間と大きさの両方のスケーリングの下で、最小過程の弱収束を確立し、新たな半最小安定過程に至る。
• 限界過程を $\xi(t) = \eta(t)^{-3/2}$ として変換し、尾依存性を分析することで、漸近的独立性であり、残差尾依存係数が $1/2$ であることが判明する。
• 自己相似性と接続過程 $\mathbb{Z}_t^w$ のパスワイズ解析を用いて、同時尾確率と漸近的尾挙動を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定区間における $q$-オーレンシュタイン＝ウーレンバック過程の漸近的巡回確率は何か？ また、この非ガウス的状況下で明示的ピケンズ定数を導出可能か？
• RQ2 時間と大きさの両方のスケーリングの下で、独立同分布のコピーの最小過程の弱収束はどのように振る舞うか？
• RQ3 極限過程の性質は何か？ これは古典的ブラウン＝レズニック極限とどのように異なるか？
• RQ4 特にゼロ付近において、極限半最小安定過程の尾依存構造は何か？
• RQ5 特に、境界における接続過程—正の自己相似マルコフ過程—は、$q$-オーレンシュタイン＝ウーレンバック過程の極値挙動をどのように支配するか？

主な発見

• 漸近的巡回確率は、$\mathbb{P}(\sup_{t\in[0,L]}X_t^{(q)}>u) \sim LC^{1/\alpha}H_\alpha \frac{1}{\sqrt{2\pi}}u^{2/\alpha-1}e^{-u^2/2}$ として導出され、非ガウス的状況下でピケンズ定数 $H_\alpha$ の明示的公式が得られる。
• 独立同分布の $q$-オーレンシュタイン＝ウーレンバック過程の最小過程は、適切なスケーリング $a_n$ と $b_n$ の下で、新たな半最小安定過程 $\{\zeta_t^{(\alpha)}\}$ に弱収束する。
• 極限過程 $\eta(t)$ の変換版 $\xi(t) = \eta(t)^{-3/2}$ は、標準1-フレシェ尾を持つ半最大安定であり、漸近的尾的独立性を示し、残差尾依存係数は $1/2$ である。
• 同時尾確率は、$\mathbb{P}(\xi(s)>x,\xi(t)>x) \sim \frac{4}{3\pi(t-s)^3}\mathbb{P}(\xi(s)>x)^2$ として、$x\to\infty$ のとき満たされ、漸近的独立性が確認される。
• 境界における接続過程は、自己相似指数 $\alpha/2$ の正の自己相似マルコフ過程であり、その不変測度は $w^{1/2}dw$ である。これはピケンズ定数と尾挙動の導出において中心的な役割を果たす。
• 分析により、過程が境界に近づくと、急速に遠ざかる挙動を示すことが判明し、極限過程における観察された漸近的尾的独立性と整合的である。