[論文レビュー] Extremes of transient Gaussian fluid queues

Krzysztof Dȩbicki, Peng Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2017

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、中心化された自己サブスティテューションを持つ定常インクリメントを持つガウス型フロントキューイングモデルにおける、尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ の正確な漸近的性質を導出する。ここで $Q(t)$ は、中心化されたガウス過程によって駆動されるキュー長を表す。やや弱い条件下で、短時間（$T_u$ が $u$ に対して小さい）および中程度・長時間（$T_u$ が $u$ に対して大きい）の2つの異なる定常的状態に分かれる。それぞれの状態において、正確な尾の挙動が確立され、定常分布への収束に関する示唆が得られる。

ABSTRACT

This contribution investigates asymptotic properties of transient queue length process $$ Q(t)=\max\left(x+X(t)-ct, \sup_{0\leq s\leq t}\left(X(t)-X(s)-c(t-s) ight) ight), t\geq 0 $$ in Gaussian fluid queueing model, where input process $X$ is modeled by a centered Gaussian process with stationary increments, $c>0$ is the output rate and $x=Q(0)\ge0$. More specifically, under some mild conditions on $X$, exact asymptotics of $$\mathbb{P}\left(Q(T_u)>u ight) $$ as $u o\infty$, is derived. The play between $u$ and $T_u$ leads to two qualitatively different regimes: (A) short-time horizon when $T_u$ is relatively small with respect to $u$; (B) moderate- or long-time horizon when $T_u$ is asymptotically much larger than $u$. As a by-product, some implications for the speed of convergence to stationarity of the considered model are discussed.

研究の動機と目的

• ガウス型フロントキューイングモデルにおける非定常キュー長過程の漸近的挙動を分析すること。
• 時間スケールの異なる状態において、$u \to \infty$ の極限における尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ を特徴づけること。
• $T_u$ と $u$ の相対的成長に基づいて、質的に異なる2つの状態を特定・区別すること。
• それぞれの状態における尾確率の正確な漸近的性質を導出すること、特に極端値に注目すること。
• 得られた結果が、モデルにおける定常分布への収束速度に与える影響を検討すること。

提案手法

• 入力過程 $X(t)$ を、定常インクリメントを持つ中心化ガウス過程としてモデル化し、キュー長 $Q(t)$ を、ドリフト補正された過程とその過去の最大不足の最大値として定義する。
• $u \to \infty$ の極限において、$T_u$ が $u$ に依存する状況で、尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ を分析する。
• 大偏差理論と経路的解析を用いて、キュー長過程のレアイベント挙動を研究する。
• 時間スケールに応じて、2つの状態に区別する：(A) $T_u$ が $u$ に対して小さい、(B) $T_u$ が $u$ よりはるかに大きい。
• ガウス過程の標本経路の性質を用いて、それぞれの状態における正確な漸近的性質を導出し、正則変動および過程の極値挙動に依存する。
• 各状態における $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ の漸近的形を、大キュー長を引き起こす最も確率の高い経路を分析することで導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間スケール $T_u$ が $u$ に対して小さいとき、$u \to \infty$ の極限において尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ はどのように振る舞うか？
• RQ2 時間スケール $T_u$ が $u$ よりもはるかに速く増加するとき、尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ の正確な漸近的形は何か？
• RQ3 短時間と長時間の時間スケールにおいて、キュー長過程の極値挙動にどのような構造的差異が生じるか？
• RQ4 漸近的結果は、非定常ガウス型フロントキューにおける定常分布への収束速度にどのように関係するか？
• RQ5 定常インクリメントを持つ下位ガウス過程の標本経路の性質が、尾挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 短時間状態（$T_u$ が $u$ に対して小さい）では、尾確率 $\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ は、縮小する時間区間における入力過程の最大値によって決定される速度で減少する。
• 中程度または長時間状態（$T_u \gg u$）では、尾確率は、長い時間スケールにおける累積入力の大きな偏差の確率に支配される。
• 入力過程 $X$ に対してやや弱い条件下で、$\mathbb{P}(Q(T_u) > u)$ の正確な漸近的性質が閉形式で導出可能である。
• 2つの状態は根本的に異なるスケーリング挙動を示す：短時間状態は局所的経路挙動に支配され、長時間状態はグローバルな大偏差特性に依存する。
• 結果から、非定常ガウス型フロントキューにおける定常分布への収束は、長時間状態のほうが尾が重いため、遅いことが示唆される。
• 分析により、キュー長の極値挙動が、閾値 $u$ に対して観測時間スケールに敏感であることが明らかになった。