[論文レビュー] F-pure threshold and height of quasi-homogeneous polynomials

Susanne Müller|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、準同次多項式およびフェルマー超曲面に対して、F純度閾値とアーチン＝マズールのフォーマル群の高さの間の明確な関係を確立する。F純度閾値がログ正則閾値に等しいことと、$H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)$ に関連するフォーマル群の高さがちょうど1であることとは同値であることを証明する。重み付きデルサーテ表面を用いた反例により、この特徴付けがF純度閾値のすべての値に一般化されないことが示される。

ABSTRACT

We consider a quasi-homogeneous polynomial $f \in \mathbb{Z}[x_0, \ldots, x_N]$ of degree $w$ equal to the degree of $x_0 \cdots x_N$ and show that the $F$-pure threshold of the reduction $f_p \in \mathbb{F}_p[x_0, \ldots, x_N]$ is equal to the log canonical threshold if and only if the height of the Artin-Mazur formal group associated to $H^{N-1}\left( X, {\mathbb{G}}_{m,X} ight)$, where $X$ is the hypersurface given by $f$, is equal to 1. We also prove that a similar result holds for Fermat hypersurfaces of degree $>N+1$. Furthermore, we give examples of weighted Delsarte surfaces which show that other values of the $F$-pure threshold of a quasi-homogeneous polynomial of degree $w$ cannot be characterized by the height.

研究の動機と目的

• 準同次多項式におけるF純度閾値とアーチン＝マズールのフォーマル群の高さの関係を明確化すること。
• F純度閾値がログ正則閾値に等しい場合を除き、F純度閾値がフォーマル群の高さによって完全に特徴付けられるかどうかを調査すること。
• 重み付きデルサーテK3表面を用いて、F純度閾値がすべての可能な値に対して高さによって完全に特徴付けられないことを示す明示的反例を構成すること。
• ある条件下で、F純度閾値が $N+1$ より大きい次数のフェルマー超曲面へ特徴付けを拡張すること。
• 最小解体による得られるK3表面の文脈において、フォーマルブラウアー群の高さがF純度閾値に与える影響を検討すること。

提案手法

• 特に $H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)$ に関連するアーチン＝マズールのフォーマル群を用いて、高さ不変量を分析するためのフォーマル群理論を用いる。
• 後藤（2004）の結果を応用して、重み付きデルサーテK3表面の最小解体のフォーマルブラウアー群の高さを計算する。
• Macaulay2 の PosChar パッケージを用いて、さまざまな素数を法として特定の多項式のF純度閾値を計算する。
• 重み付きデルサーテK3表面の明示的例を2つ構成する：1つは高さは固定だが素数によってF純度閾値が変化するもの、もう1つはF純度閾値は固定だが高さが変化するもの。
• 主定理の有効性を保証するため、$p \geq w(N-2)+1$ の条件を活用する。
• フォーマル群法則の対数とハッセ不変量の構造を用いて、F純度閾値と変形空間上でのハッセ不変量の零点の位数との関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 準同次多項式のF純度閾値がログ正則閾値に等しいのはどのような条件下か？
• RQ2 F純度閾値が $H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)$ に関連するアーチン＝マズールのフォーマル群の高さによって完全に特徴付けられるか？
• RQ3 F純度閾値が素数にわたって一定だが、フォーマル群の高さが変化する多項式は存在するか？
• RQ4 高さが一定だがF純度閾値が素数に依存して変化するケースは存在するか？
• RQ5 F純度閾値が $\text{fpt}(f_p) = \text{lct}(f)$ であることと、$\text{ht}(H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)) = 1$ であることの同値性が、$N+1$ より大きい次数のフェルマー超曲面へ拡張可能か？

主な発見

• 次数 $w = \sum \alpha_i$ の整数係数準同次多項式 $f \in \mathbb{Z}[x_0, \dots, x_N]$ に対して、$\text{fpt}(f_p) = 1 = \text{lct}(f)$ であることは、$H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)$ に関連するアーチン＝マズールのフォーマル群の高さが1であることと同値である。
• 次数 $d = N+k$（$k \geq 2$）で $N \geq 2(k-1)$ を満たすフェルマー超曲面 $f = x_0^d + \cdots + x_N^d$ に対して、F純度閾値が $\frac{N+1}{d}$ に等しいことは、$H^{N-1}(X, \mathbb{G}_m)$ のすべての成分が高さ1のフォーマル群であることと同値である。
• 例4.3では、重み (5,2,2,1) における $f = x^2 + y^5 + z^5 + w^{10}$ に対して、$p = 3, 7, 17, 19$ で高さが無限大であるが、$p = 3, 7, 17$ ではF純度閾値が $1 - \frac{1}{p}$、$p = 19=19$ では $1 - \frac{2}{p}$ である。同じ高さにもかかわらず閾値が異なる。
• 例4.4では、重み (1,1,3,4) における $f = x^8y + y^6z + z^3 + xw^2$ に対して、すべてのテストした素数でF純度閾値が $1 - \frac{1}{p}$ に等しいが、フォーマルブラウアー群の高さは変化する：$p = 3, 5, 11, 19$ では8、$p = 7$ では4、$p = 17$ では2である。
• フォーマルブラウアー群の高さが無限大であることと、ある $\mu \geq 1$ に対して $p^\mu \equiv -1 \pmod{e_A}$ が成り立つことは同値である。ここで $e_A = |\det(A)| / g$ であり、$g$ は余因子行列の列和の最大公約数である。
• 高さが有限であるとき、定理4.2（後藤、2004）に従い、$e_A$ を法とする $p$ の位数に等しい。