[論文レビュー] F-regularity of large Schubert varieties

Michel Brion, Jesper Funch Thomsen|ArXiv.org|Aug 13, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連結な再帰的代数群 $G$ の $G \times G$-等配射射影的埋め込みにおける大きなシューベルト多様体が、正の特性においてグローバルに $F$-正則であり、特性ゼロではグローバルに $F$-正則型であることを確立する。フォビニウスの分裂技術とフラッグ多様体のグローバル $F$-正則性を用いて、著者たちはこれらの多様体が正規かつコhen＝マカウレイであることを証明し、特異性に関する長年の未解決問題を、特異化を必要とせずに解消する。

ABSTRACT

Let G denote a connected reductive algebraic group over an algebraically closed field k and let X denote a projective G x G-equivariant embedding of G. The large Schubert varieties in X are the closures of the double cosets BgB, where B denotes a Borel subgroup of G, and g is in G. We prove that these varieties are globally F-regular in positive characteristic, resp. of globally F-regular type in characteristic 0. As a consequence, the large Schubert varieties are normal and

研究の動機と目的

• 再帰的群 $G$ の $G \times G$-等配射影的埋め込みにおける大きなシューベルト多様体のグローバル $F$-正則性を確立すること。
• グローバル $F$-正則性の既知の性質（正規性やコhen＝マカウレイ性）をフラッグ多様体からより大きなシューベルト多様体へと拡張すること。
• フォビニウスの分裂と $F$-正則性技術を用いて、特徴の自由な証明により、大きなシューベルト多様体のコhen＝マカウレイ性を示すこと。
• 正の特性への還元によって、特性ゼロにおけるグローバルに $F$-正則型であることを示すこと。

提案手法

• 先行研究 [2] および [18] で確立された、大きなシューベルト多様体のフォビニウスの分裂性質を活用する。
• 正の特性におけるグローバル $F$-正則性とフォビニウスの分裂の等価性を、[20] で開発されたものに適用する。
• フラッグ多様体およびそれらのシューベルト多様体のグローバル $F$-正則性を、基礎的な入力として用いる [12]。
• 群 $G$ の座標環の $\mathbb{Z}$-形式を構成し、$p$ で還元することで、$p$-進設定へと問題を還元する。
• $\overline{\mathbb{F}_p}$ 上の群 $G_p$ の $G_p \times G_p$-等配埋め込み $X_p$ を構成し、座標環 $S_p$ が有限生成かつ正規であることを示す。
• $B_p \times B_p$-軌道 $B_p w_0 B_p$ が $X_p$ において開写像であることを証明し、$X_p$ が $G_p$ の等配埋め込みであることを示し、これを双対コセット $BgB$ の閉包のグローバル $F$-正則性へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における $G \times G$-等配埋め込み内の大きなシューベルト多様体は、グローバルに $F$-正則か？
• RQ2 特性ゼロにおける大きなシューベルト多様体は有理特異性を持つのか？ そして、これは $F$-正則性から導けるか？
• RQ3 特異化を必要とせずに、大きなシューベルト多様体のコhen＝マカウレイ性および正規性を確立できるか？
• RQ4 フラッグ多様体のグローバル $F$-正則性は、還元技術を用いて、それらのより大きな類似物に対しても同様に成り立つか？
• RQ5 フォビニウスの分裂およびモジュール論的技法を用いて、大きなシューベルト多様体の座標環の $F$-正則性を証明できるか？

主な発見

• 連結な再帰的群 $G$ の任意の $G \times G$-等配射影的埋め込みにおける大きなシューベルト多様体は、正の特性においてグローバルに $F$-正則である。
• これらの多様体は特性ゼロにおいてグローバルに $F$-正則型である。これは、それらの特異性が導来的意味で良好に振る舞うことを意味する。
• 双対コセット $BgB$ の閉包は正規かつコhen＝マカウレイであり、既知のフラッグ多様体および標準的コンパクト化の結果を拡張する。
• 証明は $p$ での還元および $G$ の座標環の $\mathbb{Z}$-形式の構成に依存しており、$F$-正則性が正の特性から特性ゼロへと持ち上がる。
• 特異化を回避し、フォビニウスの分裂と $F$-正則性を用いた直接的証明により、コhen＝マカウレイ性が示される。
• 結果は、$n \times n$ 行列の空間における大きなシューベルト多様体がコhen＝マカウレイであることを確認しており、Knutson と Miller の以前の結果と整合的である。