[論文レビュー] Faa di Bruno's formula for Gateaux differentials and interacting stochastic population processes

Daniel E. Clark, Jérémie Houssineau|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 31被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、位相線形空間上のGâteaux微分に対する一般化されたFaà di Brunoの公式を導入し、階層構造や依存関係を有する相互作用的な確率的集合過程を統一的にモデル化する枠組みを提供する。主な貢献は、チャープマン＝コルモゴロフ方程式および多対象推定におけるベイズの法則の導出を容易にする厳密な変分法的道具の開発であり、多対象追跡、分岐過程、統計物理学における再正規化への応用を含む。

ABSTRACT

The problem of estimating interacting systems of multiple objects is important to a number of different fields of mathematics, physics, and engineering. Drawing from a range of disciplines, including statistical physics, variational calculus, point process theory, and statistical sensor fusion, we develop a unified probabilistic framework for modelling systems of this nature. In order to do this, we derive a new result in variational calculus, Faa di Bruno's formula for Gateaux differentials. Using this result, we derive the Chapman-Kolmogorov equation and Bayes' rule for stochastic population processes with interactions and hierarchies. We illustrate the general approach through case studies in multi-target tracking, branching processes and renormalization.

研究の動機と目的

• 相互作用や階層構造を有する多対象系をモデル化する一般化された確率的枠組みの構築。
• 確率的集合過程に生じる合成汎関数の高階微分を導出する課題への対処。
• 非対称測度への確率生成関数の一般化による応用範囲の拡大。
• 同じ確率的集合過程形式下で分岐過程と確率的グラフ理論における再正規化を統一すること。
• フィルタリングとスムージングの明示的関数形を備えた多対象推定の一般化されたベイズ解の提供。

提案手法

• 局所凸位相線形空間におけるGâteaux微分のための新しいFaà di Brunoの公式を導出。その表現は、増分の分割の和として与えられる。
• 確率生成関数汎関数における合成汎関数にこの公式を適用し、モーメント密度推定に不可欠な高階微分を計算する。
• 関数形を変更することで、非対称点過程を扱えるように確率生成関数を一般化する。
• 関数の合成を用いて相互作用的集合過程を定義し、階層的・相関的な多対象系のモデル化を可能にする。
• 新規な変分的道具を用いて、確率的集合過程におけるチャープマン＝コルモゴロフ方程式およびベイズの法則を導出する。
• チャープマン＝コルモゴロフ方程式およびベイズの法則を用いて前向き・後ろ向きスムージングを構築し、後方予測期待値を条件付きカーネルを介して計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率過程における合成汎関数を扱うために、位相線形空間におけるGâteaux微分に対するFaà di Brunoの公式をどのように一般化できるか。
• RQ2 非対称測度を扱えるように確率生成関数をどのように拡張できるか。
• RQ3 相互作用的集合過程は、どのように分岐過程と確率的グラフ理論における再正規化を統一的に扱えるか。
• RQ4 前向き・後ろ向きスムージングフレームワークを、階層的および相互作用的な多対象系に一般化する方法は何か。
• RQ5 事前分布と尤度関数が独立またはポアソン過程である場合、多対象推定における後方測度の関数形は何か。

主な発見

• 増分の分割の和として表現される、Gâteaux微分のための新しいFaà di Brunoの公式が導出され、合成汎関数の高階微分を包括的かつ簡潔に表現する。
• 事前分布が独立過程である場合、多対象推定の後方測度が独立過程であることが示され、一般ケースにおける共役性が証明された。
• 一般クラスのモデルに対して、後方分布(31)が明示的に導出され、相互作用や階層構造を反映した関数形が得られた。
• 前向き・後ろ向きスムージングは、チャープマン＝コルモゴロフ方程式およびベイズの法則に基づき定式化され、スムージング期待値は前向きおよび後ろ向き遷移カーネルを含む条件付き期待値として計算される。
• 本フレームワークにより、分岐過程と再正規化が、相互作用的集合過程モデルの特殊ケースとして統一的に扱えることが示された。
• 多対象追跡の事例研究を通じて、ポアソン過程および独立過程の両方において、一貫性があり扱いやすい後方分布の形が得られ、一般解の有効性が検証された。