[論文レビュー] Faber polynomials of matrices for non-convex sets

Bernhard Beckermann, Michel Crouzeix|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素数平面に含まれる凸でないコンパクト集合 $E \subset \mathbb{C}$ に対して、行列のファーブェル多項式のノルムに関する既知の境界 $\|F_n(A)\| \leq 2$ を拡張し、数値範囲と逆行列固有値の条件のもとで $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ または $\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$ を確立する。主な貢献は、レンズ型の非凸集合を用いたKrylov部分空間法の一般化された誤差境界の導出であり、数値線形代数における収束見積もりの改善を実現する。

ABSTRACT

It has been recently shown that $|| F_n(A) ||\leq 2$, where $A$ is a linear continuous operator acting in a Hilbert space, and $F_n$ is the Faber polynomial of degree $n$ corresponding to some convex compact $E\subset \mathbb C$ containing the numerical range of $A$. Such an inequality is useful in numerical linear algebra, it allows for instance to derive error bounds for Krylov subspace methods. In the present paper we extend this result to not necessary convex sets $E$.

研究の動機と目的

• 行列のファーブェル多項式に対する既知の境界 $\|F_n(A)\| \leq 2$ を、凸から非凸なコンパクト集合 $E \subset \mathbb{C}$ に一般化すること。
• 特にレンズ型領域を含む非凸なスペクトル集合を用いて、GMRES などのKrylov部分空間法の明示的誤差境界を提供すること。
• 集合 $E$ の幾何的パラメータを用いてすべての定数を明示的にすることで、古典的なエルマンの境界および関連結果を拡張すること。
• 非凸領域に適用可能なファーブェル多項式の新しい積分表現を構築し、$F_n(A)$ のノルム境界の導出を可能にすること。

提案手法

• コンformal写像と境界積分に基づく、非凸集合へ一般化されたファーブェル多項式の新しい積分公式を導入する。
• 外側領域から単位円盤の外側へのリーマン写像 $\Phi$ を用い、ファーブェル多項式 $F_n(z)$ を $\Phi(z)^n$ の多項式部として定義する。
• 凸性を一般化する幾何的量 $v(E) = \mathop{\rm supess}\left\{ \frac{1}{\pi} \int_{\partial E_z} |d_\sigma \arg(\sigma - z)| \right\}$ を定義する。
• 条件 $1/r \geq \|A^{-1}\|$ および $E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$（$E_1$ は $W(A)$ を含む凸集合）のもとで、$\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ の新しい境界を導出する。
• 条件 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ を満たす場合に、$\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$ の第二の境界を確立し、非凸なレンズ型領域に対してより鋭い見積もりを可能にする。
• 二つの円弧で定義されるレンズ型領域 $E = \{z : |z - c_1| \leq r_1, |z - c_0| \geq r_0\}$ に理論を適用し、$\|F_n(A)\|$ および $\gamma = 1/|\Phi(0)|$ の明示的表現を角度 $\theta_0, \theta_1, \arg a$ を用いて導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列のファーブェル多項式に対する古典的境界 $\|F_n(A)\| \leq 2$ を、凸集合から非凸なコンパクト集合 $E$ に拡張することは可能か？
• RQ2 幾何的量 $v(E)$ を用いて、スペクトル集合の非凸性を定量化し、$F_n(A)$ のノルムを制御することは可能か？
• RQ3 特にレンズ型領域を含む非凸でレンズ型のスペクトル集合を用いた場合、GMRES などのKrylov部分空間法に対して明示的な誤差境界をどのように導出できるか？
• RQ4 非凸な $E$ に対して、境界 $\|F_n(A)\| \leq \gamma^n \cdot \frac{1 + v(E)}{1 - \gamma^{n+1}v(E)}$ の定数が $E$ の幾何的性質にどのように依存するか？
• RQ5 エルマンの境界およびその一般化は、非凸集合に対する新しい枠組みの極限状態として回復され、さらに精緻化可能か？

主な発見

• $E_1$ が凸で $W(A)$ を含み、$E = \{z \in E_1 : |z| \geq r\}$ である非凸でレンズ型の集合に対して、$1/r \geq \|A^{-1}\|$ の条件下で $\|F_n(A)\| \leq 1 + v(E)$ が成り立つ。
• 条件 $1/r \geq \max\{|z| : z \in W(A^{-1})\}$ を満たす場合、$\|F_n(A)\| \leq 2v(E)$ が成り立ち、極めて非凸な集合に対して $1 + v(E)$ の境界を上回る鋭さを示す。
• 二つの円弧で定義されるレンズ型集合に対して、$\|F_n(A)\| \leq 2 + \frac{4\theta_0}{\pi}$ を導出し、$\theta_0$ は外側の弧の中心で見る角度を表す。
• スペクトル半径パラメータ $\gamma = 1/|\Phi(0)|$ の明示的公式が $\gamma = \frac{\sin\left(\frac{\pi \arg a}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}{\sin\left(\frac{\pi(\pi + \theta_0 - \arg a)}{2\pi - \theta_1 + \theta_0}\right)}$ として導出され、Krylov法の収束速度を制御する。
• 新しい境界はエルマンの境界およびその最近の拡張を一般化・精緻化し、$c_0 \to -\infty$ および $\theta_0 \to 0$ の極限でそれらを回復する。
• 本フレームワークにより、スペクトル集合 $E$ の幾何的パラメータで表されるすべての定数を明示的に表現でき、GMRES や関連するKrylov法に対する完全な明示的誤差境界が可能になる。