[論文レビュー] Faces for two qubit separable states and the convex hulls of trigonometric moment curves

Seung-Hyeok Kye|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2013

Quantum Information and Cryptography参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2キュービットの分離状態の凸集合の顔構造を調査し、R⁴における三角関数モーメント曲線の凸包に同型である4次元の顔を同定する。この結果を高次元に一般化し、R²ᵖにおける三角関数モーメント曲線の凸包が、分離状態集合S₂×ₚの顔として現れることを示す。すべての適切な顔が単体であり、極端な点は曲線の像によって特徴づけられる。主な貢献は、量子情報と多面体組合せ論を用いて、これらの凸体の顔構造を完全に特徴づけることである。

ABSTRACT

We analyze the facial structures of the convex set consisting of all two qubit separable states. One of faces is a four dimensional convex body generated by the trigonometric moment curve arising from polyhedral combinatorics. Another one is an eight dimensional convex body, which is the convex hull of a homeomorphic image of the two dimensional sphere. Extreme points consist of points on the surface, and any two of them determines an edge. We also reconstruct the trigonometric moment curve in any even dimensional affine space using the qubit-qudit systems, and characterize the facial structures of the convex hull.

研究の動機と目的

• 2キュービット分離状態の凸集合S₂×₂の顔構造を分析し、その極端な顔を同定すること。
• S₂×₂の4次元顔と多面体組合せ論に由来する三角関数モーメント曲線との関係を確立すること。
• 任意の偶数次元2pにおける三角関数モーメント曲線の構成を一般化し、S₂×ₚに埋め込むこと。
• R²ᵖにおける三角関数モーメント曲線の凸包の顔構造を特徴づけ、すべての適切な顔が単体であることを示すこと。
• C²ᵖに属するかどうかを特徴づける、p個の複素変数における有限個の不等式を提供すること。

提案手法

• 本稿は、分離状態を特定し、その凸幾何学的性質を分析するために部分転置基準を用いる。
• S₂×₂の4次元顔が、R⁴における三角関数モーメント曲線（cos t, sin t, cos 2t, sin 2t）の凸包として同定される。
• 一般のpに対して、R²ᵖにおける三角関数モーメント曲線を（cos t, sin t, ..., cos pt, sin pt）として構成し、積状態を介してS₂×ₚに埋め込む。
• 行列理論および線形代数の結果を適用して、C²ᵖの極端な点がちょうど曲線上の点であることを示す。
• 密度行列およびその部分転置のランク条件を用いて、C²ᵖの内部点と境界点を区別する。
• 主部分行列の行列式に基づき、C²ᵖに属するかどうかを特徴づける、p個の複素変数における多項式不等式の有限系を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2キュービット分離状態集合S₂×₂の顔構造は、多面体組合せ論とどのように関係しているか？
• RQ2 R²ᵖにおける三角関数モーメント曲線の凸包の幾何学的・代数的構造は何か？
• RQ3 三角関数モーメント曲線を高次元分離状態集合S₂×ₚに埋め込むことは可能か？ その場合の顔の性質は何か？
• RQ4 C²ᵖ内の任意の点を表現するために必要な極端な点の最小数は何か？ これは内部点と境界点の関係とどのように関連するか？
• RQ5 C²ᵖに属するかどうかを、複素変数における有限個の多項式不等式で特徴づけることができるか？

主な発見

• S₂×₂の4次元顔は、R⁴における三角関数モーメント曲線の凸包とアフィン同型であり、極端な点はちょうど曲線上にある。
• 任意のp ≥ 1に対して、R²ᵖにおける三角関数モーメント曲線の凸包C²ᵖは、分離状態集合S₂×ₚの顔である。
• C²ᵖの点が極端な点であるための必要十分条件は、それが三角関数モーメント曲線上にあることである。
• C²ᵖの任意の点は、高々p+1個の極端な点の凸結合として表され、内部点であるための必要十分条件は、その分解に正確にp+1個の極端な点が必要であることである。
• C²ᵖのすべての適切な顔は単体であり、k = 1, 2, ..., pに対してk個の極端な点を持つ。すべての顔は露出されている。
• C²ᵖに属するかどうかは、関連する密度行列の主部分行列の行列式に基づく、p個の複素変数における有限個の多項式不等式によって特徴づけられる。