[論文レビュー] Facilitated exclusion process and Pfaffian Schur processes

Jinho Baik, Guillaume Barraquand+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、1次元格子上の排他過程であるFacilitated TASEPを、Pfaffian Schur過程を用いて半象限における最後到達時刻問題に写像することで研究している。右端の粒子の位置は、立方根スケールでTracy-Widom GSE統計に従うことが確立された。一方、拡散ファン内のボリュームフラクチュエーションはGUE統計に従い、臨界スケーリング下で対角線付近にGUE、GOE、GSEの普遍的クロスオーバーが現れる。

ABSTRACT

We study the Facilitated TASEP, an interacting particle system on the one dimensional integer lattice. We prove that starting from step initial condition, the position of the rightmost particle has Tracy Widom GSE statistics on a cube root time scale, while the statistics in the bulk of the rarefaction fan are GUE. This uses a mapping with last-passage percolation in a half-quadrant, which we study using the formalism of Pfaffian Schur processes. For the model with exponential weights, we prove that the fluctuations of the last passage time to a point on the diagonal are either Tracy-Widom GSE distributed, Tracy-Widom GOE distributed, or Gaussian, depending on the size of weights along the diagonal. Away from the diagonal, the fluctuations of passage times follow the GUE Tracy-Widom distribution. We also obtain a two-dimensional crossover between GUE, GOE and GSE distribution by studying the multipoint distribution of last passage times close to the diagonal when the size of the diagonal weights is simultaneously scaled close to the critical point. We expect that this crossover arises universally in KPZ growth models in half-space. In terms of interacting particle systems, our results further probe the question of how first particles fluctuate for exclusion processes with downward jump discontinuities in their limiting density profiles. Through the Facilitated TASEP and a previously studied MADM exclusion process we deduce that cube-root time fluctuations seem to be a common feature of such systems. However, the statistics which arise are shown to be model dependent (here they are GSE, whereas for the MADM exclusion process they are GUE).

研究の動機と目的

• ステップ初期条件の下で、可積分確率的手法を用いてFacilitated TASEPのフラクチュエーション統計を分析すること。
• 粒子系を半象限における最後到達時刻問題に写像し、Pfaffian Schur過程の形式的枠組みを活用すること。
• 対角線付近における最後到達時間の普遍的振るまいを特定すること、特にGUE、GOE、GSE分布間のクロスオーバーを同定すること。
• 密度プロファイルに下向きのジャンプ不連続性を示す排他過程における最初の粒子のフラクチュエーションがどのように振る舞うかを調査すること。
• Facilitated TASEPの統計的挙動を、MADM排他過程などの他のモデルと比較し、立方根スケールフラクチュエーションの性質を検討すること。

提案手法

• 指数的重みを伴う半象限における最後到達時刻問題を分析するためにPfaffian Schur過程の形式的枠組みを用いる。
• Facilitated TASEPと最後到達時刻問題との間の写像を用いて、フラクチュエーション結果を粒子系に移行する。
• 対角線付近における通過時間の漸近的解析を、対角線重みの臨界スケーリング下で実施する。
• 対角線付近における複数の最後到達時間の同時分布を導出し、GUE、GOE、GSE法則間のクロスオーバーを観察する。
• 既知のPfaffianおよび行列式点過程の結果を活用して、極限分布を特徴付ける。
• Tracy-Widom分布を基準法とするために、系の異なる領域における漸近的フラクチュエーションを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステップ初期条件の下で、Facilitated TASEPにおける右端粒子のフラクチュエーション統計は何か？
• RQ2 最後到達時刻のフラクチュエーションは、対角線重みの大きさにどのように依存し、どのような普遍的クロスオーバーが現れるか？
• RQ3 密度プロファイルに下向きのジャンプ不連続性を示す排他過程における最初の粒子のフラクチュエーションは、普遍的に立方根スケール統計に従うか？
• RQ4 Facilitated TASEPの統計的挙動は、MADM排他過程と比較して、どの程度Tracy-Widom法則の性質において類似しているか？
• RQ5 最後到達時刻問題におけるGUE、GOE、GSE統計の遷移は、半空間KPZ成長モデルにおいて普遍的に記述可能か？

主な発見

• ステップ初期条件から出発するFacilitated TASEPにおける右端粒子の位置は、立方根時間スケールでTracy-Widom GSE統計に従う。
• Facilitated TASEPの拡散ファン内におけるボリュームフラクチュエーションは、Tracy-Widom GUE法則に従う。
• 指数的重みの下では、対角線点への最後到達時間は、対角線重みの大きさに応じて、Tracy-Widom GSE、GOE、またはガウス分布のいずれかに従う。
• 対角線から離れた領域では、最後到達時間のフラクチュエーションはTracy-Widom GUE分布に従う。
• 対角線重みを臨界点に近づけるスケーリング下で、GUE、GOE、GSE分布間の2次元クロスオーバーが観察され、半空間KPZモデルにおける普遍的挙動が示された。
• 本研究は、下向きのジャンプ不連続性を示す排他過程における立方根スケールフラクチュエーションが共通の特徴であることを確認したが、極限統計（ここではGSE、MADMではGUE）はモデル依存的であることが判明した。