[論文レビュー] Factor-balancedness, linear recurrence, and factor complexity

Bastíán Espinoza, Pierre Popoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

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ひとこと要約

この論文は、線形再帰的およびS-アッド語における（一様）因子平衡性の一般的基準を展開し、それをSturmianおよびArnoux–Rauzy語に適用し、因子複雑性との関係を調べ、指数的増加を伴うToeplitz型の例を含む。

ABSTRACT

In the study of infinite words, various notions of balancedness provide quantitative measures for how regularly letters or factors occur, and they find applications in several areas of mathematics and theoretical computer science. In this paper, we study factor-balancedness and uniform factor-balancedness, making two main contributions. First, we establish general sufficient conditions for an infinite word to be (uniformly) factor-balanced, applicable in particular to any given linearly recurrent word. These conditions are formulated in terms of $\mathcal{S}$-adic representations and generalize results of Adamczewski on primitive substitutive words, which show that balancedness of length-2 factors already implies uniform factor-balancedness. As an application of our criteria, we characterize the Sturmian words and ternary Arnoux--Rauzy words that are uniformly factor-balanced as precisely those with bounded weak partial quotients. Our second main contribution is a study of the relationship between factor-balancedness and factor complexity. In particular, we analyze the non-primitive substitutive case and construct an example of a factor-balanced word with exponential factor complexity, thereby making progress on a question raised in 2025 by Arnoux, Berthé, Minervino, Steiner, and Thuswaldner on the relation between balancedness and discrete spectrum.

研究の動機と目的

• 因子の規則性を Infinite words の定量的指標として測るための factor-balancedness および uniform factor-balancedness の研究動機づけ。
• S-アッド表現を通じて線形再帰的語に適用可能な一般的十分条件を構築する。
• bounded weak partial quotients を介して Sturmian および ternary Arnoux–Rauzy 語の uniform factor-balancedness を特徴づける。
• factor-balancedness と factor complexity の関係、非原始置換場合や複雑性の成長を含む分析。

提案手法

• congenial sequences および条件 (P)、(F)、(D) を導入し Derived word が B_n-letter-balanced のときに Factor-balancedness を導く定理 1.2 を導出する。
• S-アッド表現と decisiveness を用いて desubstitution 後の letter-balancedness へと因子-balancedness の問題を還元する。
• primitive substitutive words に関する既知の結果を利用して uniform factor-balancedness と length-2 factors の balanced の等価性を得る。
• Sturmian および Arnoux–Rauzy 語へこの枠組みを適用し、(例として) bounded weak partial quotients を持つ AR 語が一様因子平衡であることなど、正確な特徴付けを得る。
• 因子平衡性と factor complexity の関係を示し、置換的因子平衡語の線形複雑性を証明し、Toeplitz 型に基づく指数的複雑性を持つ因子平衡語を構成する。
• 定理 1.2、定理 1.3、定理 1.4 などの明示的結果を提供し、それらの含意を論じる。

Figure 3. A DFAO generating ${\bf{x}}$ in the Zeckendorf numeration system.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形再帰的語が（一様に）因子平衡であるための必要条件（十分条件を超えるもの）は何か。
• RQ2 アルノー・ラウジー語のうち、サイズ d≥2 のアルファベット上で一様因子平衡性を持つものはどれか。
• RQ3 指数的成長を伴う因子複雑性は、一様因子平衡語で起こり得るのか、どのような構成で起こるのか。
• RQ4 超線形の因子複雑性を持つ一様因子平衡語は得られるのか。
• RQ5 因子平衡性の性質は primitive substitutive 構造および desubstitution 過程とどう相互作用するのか。

主な発見

• 定理 1.2 は congenial sequences と B_n-letter-balanced derived words を用いて、線形再帰的語が（一様に）因子平衡であるための一般的十分条件を提供する。
• primitive substitutive words に対して、枠組みは uniform factor-balancedness と length-2 factors の balanced との間に等価性を与える。
• 定理 1.3 は、アルノー・ラウジー語を 3 字以下のアルファベット上で一様因子平衡にする条件を、weak partial quotients が有界であることと正確に同値であることを特徴づける。
• 第7節は置換的因子平衡語が線形の因子複雑性を持つことを示し、定理 1.4 は指数的な因子複雑性を持つ因子平衡語を構成し、すべての因子平衡系が離散スペクトルを持つとは限らないことを示唆する。
• Tribonacci 語は関連研究の事例として、定数 2 を用いた一様因子平衡であることを示し、一様因子平衡性の適用範囲を示す。