[論文レビュー] Factor Colorings of Linearly Recurrent Words

Ville Salo, Ilkka Törmä|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

semigroups and automata theory参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、周期的でない線形再帰的無限語が、長さが厳密に増加する因子への単調で同色の因子分解を許さない要因着色を備えることを証明する。帰還語と前缀長さの偶奇に基づいて巧みに構築された着色により、著者らは、このような因子分解が $ K+1 $ よりも長くは存在できないことを示し、$ K $ を線形再帰定数として、語の組合せ論的ラマセー理論における強い否定的結果を確立する。

ABSTRACT

In this short article, we study factor colorings of aperiodic linearly recurrent infinite words. We show that there always exists a coloring which does not admit a monochromatic factorization of the word into factors of increasing lengths.

研究の動機と目的

• 周期的でない線形再帰的無限語が、長さが増加する因子への単調で同色の因子分解を避ける因子着色を備えるかどうかを調査すること。
• 因子長の単調性というより厳しい条件を課えることで、無限語における同色因子分解に関する先行研究を拡張すること。
• 固定点が原始的置換の下で得られるような、周期的でない語の広いクラスに対して否定的結果を確立すること。そのために、このような因子分解を遮断する着色を構築すること。
• この性質を達成するために必要な色の数の定量的バウンドを提示し、線形再帰定数 $ K $ と関連付けること。

提案手法

• 線形再帰定数 $ K $ を用いて、$ p_n = x[0, K^n - 1] $ という前缀の帰還語に基づき、因子着色 $ c: \mathrm{Fact}^+x \to C $ を定義する。
• 色の集合 $ C = \{\#, \$, (\mathbb{Z}_2 \times B^{<K^5}) \} $ を合成的に用い、$ B = \{0, \dots, K(K+1)^2 - 1\} $ とすることで、$ n(u) $ の偶奇と帰還語の圧縮インデックス $ r(u) $ を同時に符号化する。
• 因子 $ u $ が $ p_{n(u)} $ の帰還語のべきで、かつ $ K^2 $ 以下である場合に限り、色 $ (n(u) \bmod 2, r(u)) $ を割り当てる。$ p_{n(u)} $ のべきに属さない前缀には $ \$ を、それ以外の場合は $ \# $ を割り当てる。
• 帰還語のインデックスから実際の因子への写像 $ \Theta_x^{p_{n-1}} $ の単射性を活用し、$ r(u) $ からの一意的な再構成を保証する。
• 線形再帰性を用いて帰還語の長さを制御する：$ w \in \mathcal{R}_x(p_n) $ に対して $ |w| \geq K^{n-1} $ が成り立ち、これにより $ r(u) $ の成長が制御される。
• 長さ $ K+1 $ の単調で同色の因子分解が存在すると仮定し、矛盾を導く。これにより、因子が $ (K+1) $ 回繰り返されることが示され、線形再帰性の境界に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての周期的でない線形再帰的無限語は、長さが増加する因子への単調で同色の因子分解を許さない因子着色を備えるか？
• RQ2 線形再帰的語において、このような単調で同色の因子分解を遮断するために必要な最小の色数は何か？
• RQ3 ラマセー型の結果が示すように、無限語の末尾に強い同色因子分解が存在する場合、注意深く着色することでその前缀ではこのような因子分解を回避できるか？
• RQ4 線形再帰定数 $ K $ は、帰還語の構造と着色関数の設計にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 線形再帰定数 $ K $ を持つ周期的でない線形再帰的無限語 $ x $ は、長さ $ K+1 $ の単調で同色の因子分解を許さないため、クラス $ \mathcal{P}_{\mathrm{m}}(K+1,k) $ に属する。
• このような着色に必要な色の数は、$ k = 2 + \sum_{i=0}^{K^5 - 1} 2K^i(K+1)^{2i} $ で有界であり、構成の明示的定量的評価が得られる。
• 証明は、このような因子分解が存在すると仮定した場合に矛盾が生じることを示している：すべての因子が等しい（つまり $ (K+1) $ 回繰り返し）か、より長い因子が $ K $ 回繰り返されているかのいずれかであり、いずれも帰還語の成長に関する補題5に反する。
• 着色は、前缀と帰還語のべきにのみ $ \# $ でない色が割り当てられ、$ n(u) $ の偶奇が因子分解における長さの増加が色の整合性を破るのを防ぐ。
• この結果は、固定点が周期的でない原始的置換から得られる語—線形再帰的であることが知られている—に対しても、同様にこのような単調で同色の因子分解を回避することを示唆する。
• 構成は頑健である：因子長が増加する因子分解であっても、着色によりすべての因子が同じ色を持つことは不可能であり、線形再帰性に反する構造的制約がある場合を除いては、そのような同色性は回避される。