[論文レビュー] Factor frequencies in languages invariant under more symmetries

Ľubomíra Balková|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

semigroups and automata theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限群のすべての対称性に関して不変な言語を持つ一様再帰的無限語における異なる因数頻度の数に対する最適な上界を確立する。縮小されたラウツィー図と群不変対称性を活用することで、著者たちは先行研究の上界、特にボシェルニツァンの $3\Delta\mathcal{C}(n)$ を $\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$ に改善し、特定の自己相似写像による固定点を用いた明示的構成によりそのタイトネスを示し、3重回転対称性を持つ写像の固定点における解析を通じて最適性を裏付けた。

ABSTRACT

The number of frequencies of factors of length $n+1$ in a recurrent aperiodic infinite word does not exceed $3Δ\C(n)$, where $Δ\C (n)$ is the first difference of factor complexity, as shown by Boshernitzan. Pelantová together with the author derived a better upper bound for infinite words whose language is closed under reversal. In this paper, we further diminish the upper bound for uniformly recurrent infinite words whose language is invariant under all elements of a finite group of symmetries and we prove the optimality of the obtained upper bound.

研究の動機と目的

• 有限群の対称性に関して不変な言語に対する無限語における因数頻度の数の上限を一般化すること。
• 再帰的で非周期的な語に対するボシェルニツァンの上界 $3\Delta\mathcal{C}(n)$ を、群の対称性を組み込むことで改善すること。
• 導出された上界が最適であることを、上界が達成される明示的例の構成により証明すること。
• 反転を越える高次の対称性群に対しても、ラウツィー図と頻度保存の概念を応用すること。

提案手法

• 一様再帰的無限語における因数頻度をモデル化するための縮小ラウツィー図の使用。
• 群論的対称性（回転や反転を含む）を用いて、辺と頂点間の頻度分布を制約すること。
• 新しい上界の導出：$\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$、ここで $X$ は双特別因数の数、$Y$ は特定の対称性に関して回文的である双特別因数の数。
• ラウツィー図における頻度にキルホフの法則を適用し、対称的構成要素間の辺頻度を関連付けること。
• 3重回転対称性を持つ写像の固定点を構成し、上界のタイトネスを検証すること。
• 双特別因数の有無に関する場合分けを用いて、頻度集合とグラフ構造の相関を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の対称性に関して不変な言語を持つ一様再帰的無限語における異なる因数頻度の数の最小上界は何か？
• RQ2 双特別因数および回文的対称性の存在が、異なる因数頻度の数に与える影響は何か？
• RQ3 群の対称性から導かれた上界は実際の状況で達成可能か？その条件は何か？
• RQ4 対称性が存在する際、新しい上界はボシェルニツァンの $3\Delta\mathcal{C}(n)$ 上界とどのように比較されるか？
• RQ5 上界は最適であるか？また、明示的な例によって飽和可能か？

主な発見

• 本稿は、異なる因数頻度の数に対する新しい上界 $\frac{1}{\#G}(4\Delta\mathcal{C}(n) + \#G - X - Y)$ を確立し、ボシェルニツァンの $3\Delta\mathcal{C}(n)$ 上界を改善した。
• 上界は、3重回転対称性を持つ写像の固定点において、上界が正確に達成されることにより最適性が証明された。
• 長さ $n$ の双特別因数が言語に存在する場合、長さ $n+1$ の因数頻度の異なる数は正確に 2 個であり、上界と一致する。
• 長さ $n$ に双特別因数が存在しない場合、異なる頻度の数は正確に 3 個であり、再び導出された上界と一致する。
• 長さ $n+1$ の因数の頻度集合は、双特別因数の有無および対称性の種類に応じて、3 種類の特定の形のいずれかに限られることが示された。
• トゥエ＝モールス語は非自明な対称性群を持つが、上界に到達しない。これは上界が一般には最適であるが、常にタイトではないことを示している。