[論文レビュー] Factorability, String Rewriting and Discrete Morse Theory

Alexander Heß, Viktoriya Ozornova|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、モノイドにおける因数可能性と離散モース理論の間の関係を確立し、因数可能なモノイドがバー複体上のマッチングを通じてそのホモロジーを計算する小さなチェーン複体を備えていることを示している。主な貢献は、任意の生成系をもつモノイドに対して有効である、因数可能性構造から導かれる正規形に基づく一般化された複体の構成法と、その関連する書き換え系が常にノエター的でないことを示した点であるが、アーティンモノイドやガーディス群のような重要なケースではノエター的である。

ABSTRACT

This article deals with the notion of factorability. Elements of a factorable group or monoid possess a normal form, which leads to a small complex homotopy equivalent to its bar complex, thus computing its homology. We investigate the relations to string rewriting and to discrete Morse theory on the bar complex. Furthermore, we describe a connection between factorability and Garside theory.

研究の動機と目的

• モノイドのバー複体における因数可能性、文字列書き換え系、および離散モース理論の関係を調査すること。
• ボーディゲイマーとヴィシーの対称群におけるホモロジー計算枠組みを、任意の生成系をもつ一般のモノイドへ拡張すること。
• 因数可能性構造に関連する書き換え系がノエター的である条件を明らかにすること、特にガーディス理論の文脈において。
• アーティンモノイドや特定のガーディス群を含む広範なクラスのモノイドに因数可能性構造が存在することを示すこと。
• 組合せ的群・モノイド論におけるホモロジー計算の文脈で、因数可能性、書き換え系、および離散モース理論を統一的に結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• 因数可能性構造を、測地的正規形と乗法とへの整合性を保証する公理を満たす因数分解写像として定義する。
• 因数可能なモノイドにおける生成元の不安定対を用いて、基底要素が $[m_n | \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} \tfrac{}{} m_1]$ の形をとる小さなチェーン複体を構成する。ここで $(m_{i+1}, m_i)$ は不安定対である。
• モノイドのバー複体に離散モース理論を適用し、因数可能性構造によって誘導されるマッチングがホモトピー同値な小さな複体を生成することを示す。
• 得られたチェーン複体がモノイドのホモロジーを計算することを証明し、ビシーとワンの結果を、任意の生成系をもつモノイドへ一般化する。
• 左ノエター性および最小左公倍元閉包の概念を用いて、関連する書き換え系が完全かつノエター的である条件を確立する。
• 証明における対称ケースの削減、特に正規形の一意性の欠如を示す反例構成において、自己同型写像 $\gamma$ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイドに因数可能性構造が与えられたとき、どのような条件下で関連する書き換え系がノエター的になるか？
• RQ2 因数可能性構造は、モノイドのバー複体における離散モース理論とどのように関係するか？
• RQ3 因数可能な状況における正規形から導かれる小さなチェーン複体を用いて、モノイドのホモロジーを計算できるか？
• RQ4 どのようなクラスのモノイド（例えばアーティンモノイドやガーディス群）が、特定の生成系に関して因数可能性構造をもつか？
• RQ5 有限かつ右消去可能モノイドであっても、なぜ書き換え系がノエター的でない場合があるのか。どのような構造的性質がその原因となっているのか？

主な発見

• 因数可能なモノイド $(M, \\(mathcal{E}, \eta)$ は、$m_i \in \mathcal{E} \setminus \{1\}$ かつ隣接する不安定対 $(m_{i+1}, m_i)$ をもつタプル $[m_n | \ldots | m_1]$ を基底にもつ小さなチェーン複体 $(\mathbb{V}_*, \partial^\mathbb{V})$ を持ち、この複体は $M$ のホモロジーを計算する。
• 因数可能なモノイドに関連する書き換え系は、付録の反例によって示されるように、必ずしもノエター的ではない。これは、モノイドが右消去的かつ系が有限であっても同様である。
• もし $M$ が右消去的かつ左ノエター的であり、かつ任意の共通左倍元をもつ2要素が最小左公倍元をもつならば、因数可能性構造に関連する書き換え系は完全かつノエター的である。
• 定理12.5の条件を満たすモノイドのクラス（アーティンモノイドを含む）は、因数可能性構造をもつ。これは、既知のガーディス群や対称群に関する結果を一般化する。
• モノイドにおける因数可能性構造は、生成系に強く依存する。例えば、対称群は互換に関して因数可能だが、単純な互換に関してはそうではない。
• 自己同型 $\gamma$ は因数可能性構造とマッチングを保存し、特に反例構成における証明ケースの対称的削減を可能にする。