[論文レビュー] Factoring Polynomials over Finite Fields using Balance Test

Chandan Saha|ArXiv.org|Feb 20, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、拡張リーマン仮説（ERH）の下で、1変数多項式の因数分解に対して決定的多項式時間アルゴリズムを提案する。この手法は、根の非対称性を検出するための新規な「バランステスト」を用い、Gaoの平方バランス条件をより厳密な「クロスバランス」性質に拡張することで、極めて対称的なクラスを除き、すべての多項式に対して多項式時間因数分解を可能にする。また、ランダムに選ばれた補助多項式を用いた確率的バージョンも提示され、高い確率で成功することが保証される。

ABSTRACT

We study the problem of factoring univariate polynomials over finite fields. Under the assumption of the Extended Riemann Hypothesis (ERH), (Gao, 2001) designed a polynomial time algorithm that fails to factor only if the input polynomial satisfies a strong symmetry property, namely square balance. In this paper, we propose an extension of Gao's algorithm that fails only under an even stronger symmetry property. We also show that our property can be used to improve the time complexity of best deterministic algorithms on most input polynomials. The property also yields a new randomized polynomial time algorithm.

研究の動機と目的

• Gaoの平方バランス条件を、より強い対称性条件「クロスバランス」に拡張し、より広いクラスの多項式に対して決定的因数分解を可能にする。
• 入力多項式の根における構造的非対称性を活用することで、決定的多項式因数分解の最悪ケース時間計算量を低減する。
• ランダムに選ばれた補助多項式を用いて、確率的多項式時間アルゴリズムを設計し、妥当な体の条件下で高い成功確率を保証する。
• 因数分解計算に使用する環の次元を低減することで、従来の方法に比べて高い計算コストを回避する。
• ERHの下での有限体上での決定的多項式時間因数分解という未解決問題に、新たなテスト可能な対称性条件を同定することで対処する。

提案手法

• アルゴリズムは、$ k = (n /\log p)^{O(1)} $ 個の小次元補助多項式 $ p_1, \bar{p}_2, \bar{p}_3, \bar{p}_k $ の列を用い、$ p_1(y) = y $ である。これらにより、入力多項式 $ f $ の根が変換される。
• 各 $ p_l $ に対して、$ n $ 個の頂点（根 $ \theta_i $ に対応）を持つ有向グラフ $ G_l $ を構築する。頂点 $ v_i \to v_j $ のエッジが存在するのは、$ \theta_j \neq \theta_i $ かつ $ \text{sign}((p_l(\theta_i) - p_l(\theta_j))^2) = -(p_l(\theta_i) - p_l(\theta_j)) $ を満たすときであり、Gaoの研究から得た平方根関数 $ \rho $ を用いる。
• 集合 $ D_i^{(l)} $ は、再帰的に $ D_i^{(l)} = D_i^{(l-1)} \bigcap \triangle_i^{(l)} $ と定義され、$ \triangle_i^{(l)} $ は変換された根における対称差を捉える。
• アルゴリズムは、$ G_l $ が正則（すべての頂点が等しい入次数と出次数を持つ）かどうかをチェックする。もし任意の $ G_l $ が正則でなければ、$ f $ の非自明な因子が $ O(k \times (n /\log p)^{O(1)}) $ 時間で得られる。
• もし $ G_l $ が正則で、かつ $ G_l \neq G_{l-1} $ であれば、$ f'(y) $ のモニック因子 $ g_l(y) $ を計算し、その次数は $ g_{l-1}(y) $ の半分以下に保証される。これにより、対数的収束が保証される。
• 確率的性能の観点では、一様ランダムな次数 $ (n-1) $ の補助多項式を用い、$ \bar{O}(\text{log } n) $ ステップにわたり正則性を維持する確率が指数的に小さいことを示し、高確率で成功することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gaoの平方バランステストにおける対称性条件を、より広いクラスの多項式に対して決定的因数分解を可能にするように強化できるか？
• RQ2 補助多項式の使用により、因数分解に用いる環の次元を低減でき、時間計算量の改善が図れるか？
• RQ3 ランダムに選ばれた補助多項式が、必要な対称性を破る確率はどの程度か？ これにより、確率的多項式時間での因数分解が成功するか？
• RQ4 対称性が破れた場合に、中間因子 $ g_l(y) $ の次数が各ステップで少なくとも半分に減少するように、アルゴリズムを変更可能か？
• RQ5 このような補助多項式を多項式時間で決定的に構成可能か？ これにより、ERHの下で完全な決定的多項式時間因数分解が達成可能か？

主な発見

• 任意のグラフ $ G_l $ が正則でない場合、$ f $ は決定的多項式時間で因数分解可能であり、時間計算量は $ O(k \times (n /\log p)^{O(1)}) $ である。ここで $ k = (n /\log p)^{O(1)} $ である。
• もし $ G_1, \bar{G}_k $ がすべて正則であり、かつ $ G_l \neq G_{l-1} $ となる $ l $ の値が少なくとも $ \bar{\text{log}}_2 n $ 個存在する場合、$ f $ は $ O(k \times (n /\log p)^{O(1)}) $ 時間で因数分解可能である。
• $ p \triangleq 3 \bmod 4 $ かつ $ p > n^6 2^{2n} $ のとき、平方自由かつ完全に分解可能な多項式のうち、平方バランスであるものの割合は、$ \frac{(1+o(1))^n}{(\frac{\bar{\text{pi}}}{2}n)^{n/2}} $ 以下である。これは、このような多項式がまれであることを示唆する。
• 補助多項式 $ p_l(y) $ が次数 $ n-1 $ の一様ランダムに選ばれるとき、$ f_l $ が平方自由でないか、または平方バランスである確率は、$ \frac{(1+o(1))^n}{(\frac{\bar{\text{pi}}}{2}n)^{n/2}} $ 以下である。よって、アルゴリズムは高確率で成功する。
• $ p \triangleq 1 \bmod 4 $ のとき、$ G_l $ が正則である条件下で $ G_{l+1} \neq G_l $ である確率は、少なくとも $ 1 - \frac{1}{2^{0.9n - 2}} $ である。これにより、高確率で $ \bar{O}(\text{log } n) $ ステップで十分であることが保証される。
• アルゴリズムが $ \bar{O}(\text{log } n) $ イテレーション以内に $ f $ を因数分解できない確率は、$ \frac{\bar{O}(\text{log } n)}{2^{0.9n - 2}} $ 未満である。これにより、確率的バージョンが高確率で多項式時間で実行されることを証明する。