[論文レビュー] Factorisation of conformal maps on finitely connected domains

Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Holomorphic and Operator Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リーマン球面上の有限連結領域上の任意の共形写像が、補集合成分の数に等しい数の共形写像の合成に分解可能であることを証明している。各因子は単連結領域上で定義された共形写像である。証明はリーマン面のコーエッブの均質化定理に依拠し、正則関数の局所的分解に類似したグローバルな分解を確立する。

ABSTRACT

Let $U$ be a multiply connected domain of the Riemann sphere $\hat{C}$ whose complement $\hat{C}\setminus U$ has $N

研究の動機と目的

• 正則関数の単連結領域上での局所的分解に類似した、有限連結領域上の共形写像のグローバルな分解を確立すること。
• D.E. マーシャルの最近の結果を改善し、必要な因子数を2NからNに削減すること。この際、像領域が円または準円で囲まれている必要はない。
• 積分方程式や擬似正則拡張を用いないで、リーマン面の均質化を用いた幾何学的・位相的証明を提供すること。
• N ≥ 2 に対して、共形ワッティング問題を、単連結領域上でのN個の共形写像への最小分解として実現すること。

提案手法

• 領域Uの連結度Nに関する帰納法を用い、N−1個の成分に対して分解が存在すると仮定する。
• DをN個の互いに補集合が不交和である単連結領域A_iの共通部分集合として定義し、共形写像gによる像領域g(D)を考察する。
• 座標近傍φ_Aとφ_Bを用いて、共形写像gによる2つのリーマン球面のコピーの貼り合わせによりリーマン面Cを構成する。
• 得られる表面Cがコンパクトかつ単連結であることを示し、均質化定理によりリーマン球面に共形同値であることを証明する。
• 均質化写像u: C → ℂ̂を適用し、g = g̃ ∘ g_nの形の分解を定義する。ここでg_nはA_n上で共形であり、g̃はu(𝒜)上での(N−1)重連結領域上で共形である。
• ループのノルムホモトピー性、閉部分集合によるコンパクト性といった位相的議論を用いて、Cが単連結かつコンパクトであることを検証し、均質化定理の適用を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限連結領域上での共形写像は、補集合成分の数Nに等しい数の共形写像の合成に分解可能か？各因子は単連結領域上で定義される。
• RQ2 マーシャルの以前の結果のように、像領域が円または準円で囲まれている必要がない分解は存在するか？
• RQ3 リーマン面の均質化に基づく異なる証明戦略を用いることで、因子の最小数を2NからNに削減可能か？
• RQ4 N ≥ 2 に対して、共形ワッティング問題が、単連結領域上でのN個の共形写像の合成として幾何学的に実現可能か？

主な発見

• 任意のN重連結領域U上の共形写像Gは、G = g₁ ∘ g₂ ∘ ⋯ ∘ g_Nの形に書くことができる。ここで各g_iは単連結領域上で共形である。
• 因子の必要数がマーシャルの結果における2NからNに削減され、分解の効率が向上した。
• 証明は、共形写像gによる2つのリーマン球面のコピーの貼り合わせによりコンパクトかつ単連結なリーマン面Cを構成し、均質化定理を適用することに依拠している。
• 表面Cが位相的表面として単連結かつコンパクトであることが示され、これにより共形均質化写像u: C → ℂ̂の存在が正当化される。
• 分解はg = g̃ ∘ g_nの形で実現され、ここでg_nはA_n上で共形であり、g̃はu(𝒜)上での(N−1)重連結領域上で共形である。
• 像領域が円または準円で囲まれているという仮定を避けたため、従来の研究よりもより一般化された結果が得られた。