[論文レビュー] Factorization, majorization, and domination for linear relations

Seppo Hassi, Henk de Snoo|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト空間における線形関係について、因数分解、主要化、支配の間の基礎的同値関係を確立し、ドーソンの補題を非有界作用素および関係へと拡張する。$ ZB \subset A $（支配）は $ A^*A \leq c^2 B^*B $ と同値であり、$ A = BW $（因数分解）は $ WA^{-1} \subset B^{-1} $ と同値である。これにより、一般化された枠組みの中で、主要な作用素理論的概念が統一される。

ABSTRACT

Let ${\mathfrak H}_A$, ${\mathfrak H}_B$, and ${\mathfrak H}$ be Hilbert spaces. Let $A$ be a linear relation from ${\mathfrak H}$ to ${\mathfrak H}_A$ and let $B$ be a linear relation from ${\mathfrak H}$ to ${\mathfrak H}_B$. If there exists an operator $Z \in \mathbf{B}({\mathfrak H}_B,{\mathfrak H}_A)$ such that $ZB \subset A$, then $B$ is said to dominate $A$. This notion plays a major role in the theory of Lebesgue type decompositions of linear relations and operators. There is a strong connection to the majorization and factorization in the well-known lemma of Douglas, when put in the context of linear relations. In this note some aspects of the lemma of Douglas are discussed in the context of linear relations and the connections with the notion of domination will be treated.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における非有界線形関係および作用素へのドーソンの補題の一般化を目的とする。
• 線形関係の文脈において、支配、因数分解、主要化の関係を明確化すること。
• 閉じた線形関係に対して作用素不等式 $ A^*A \leq c^2 B^*B $ を用いた支配の統一的特徴付けを提供すること。
• 因数分解 $ A = BW $ と逆支配 $ WA^{-1} \subset B^{-1} $ の間に双対性を確立すること。
• これらの結果を用いて、解像度を用いた非負自己随伴関係の順序付けを特徴付けること。

提案手法

• 有界作用素の結果を非有界設定へ一般化するために、線形関係の理論（定義域、値域、核、多価部分）を用いる。
• 有界作用素に対して標準的な形のドーソンの補題を適用し、スペクトルおよび因数分解技術を用いてそれを閉じた線形関係へ拡張する。
• 支配 $ ZB \subset A $ と不等式 $ A^*A \leq c^2 B^*B $ の同値性を確立し、$ \|Z\| \leq c $ を満たす。
• 非稠密に定義された作用素を取り扱うために、関係を単価部分と多価部分に分解する手法を導入する。
• 解像度の恒等式 $ (H+x)^{-1} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}(H^{-1} + \frac{1}{x})^{-1} $ を用いて、解像度と逆関係を関連付ける。
• 双対性 $ A = BW \Leftrightarrow WA^{-1} \subset B^{-1} $ を適用し、作用素順序の新しい特徴付けを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドーソンの補題は、有界作用素から閉じた線形関係へどのように拡張できるか？
• RQ2 支配 $ ZB \subset A $ と不等式 $ A^*A \leq c^2 B^*B $ の正確な関係は何か？
• RQ3 線形関係の文脈において、因数分解 $ A = BW $ と逆支配 $ WA^{-1} \subset B^{-1} $ はどのように関係するか？
• RQ4 これらの一般化された同値関係を用いて、非負自己随伴関係の順序付けを解像度を用いて特徴付けることができるか？
• RQ5 線形関係の単価部分および多価部分は、因数分解および支配において果たす役割は何か？

主な発見

• 閉じた線形関係について、支配 $ ZB \subset A $ は $ A^*A \leq c^2 B^*B $ と同値であり、$ \|Z\| \leq c $ を満たす。これは定理4.4で示された。
• 有界作用素について、因数分解 $ A = BW $ は $ WA^{-1} \subset B^{-1} $ と同値である。これは補題5.1で確立された。
• 同値関係 $ A = BW \Leftrightarrow WA^{-1} \subset B^{-1} $ は、非負自己随伴関係の順序 $ H_1 \leq H_2 $ の解像度的特徴付けに対する、新しいかつ簡潔な証明を提供する。
• 定義域が $ \text{dom}\,A = \text{dom}\,B $ である閉じた線形関係について、不等式 $ A^*A \leq c^2 B^*B $ は、ある $ 0 \leq M \in \mathbf{B}({\mathfrak{H}}_B) $ が存在して $ A^*A = B^*MB $ と書けることを示唆する。ただし $ \|M\| \leq c^2 $ である。
• 古典的ドーソンの補題は線形関係へ拡張され、$ \text{ran}\,A \subset \text{ran}\,B $ は $ AA^* \leq \lambda BB^* $ と同値であることが示され、非有界の場合にも成り立つ。
• 本稿では、$ (H_1 + x)^{-1} \geq (H_2 + x)^{-1} $ がすべての $ x > 0 $ に対して成り立つのは、$ H_1 \leq H_2 $ であるときかつそのときに限ることを、一般化された因数分解および双対性枠組みを用いて確立した。