[論文レビュー] Factorization of Dirac Operators on Almost-Regular Fibrations of Spin$^c$ Manifolds

Jens Kaad, Walter D. van Suijlekom|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スピン$^c$多様体のほぼ正則なファイブレーション上でのディラック作用素の因子分解を、非有界カスパロフモジュールの構成によって、縦方向および横方向の成分に分解することを確立する。総体的なディラック作用素は、曲率項を除いて、縦方向に正則なディラック作用素族と横方向のディラック作用素のテンソル和に分解され、この因子分解が、2次元K理論における内部カスパロフ積を表していることを示している。

ABSTRACT

We establish the factorization of the Dirac operator on an almost-regular fibration of spin$^c$ manifolds in unbounded KK-theory. As a first intermediate result we establish that any vertically elliptic and symmetric first-order differential operator on a proper submersion defines an unbounded Kasparov module, and thus represents a class in KK-theory. Then, we generalize our previous results on factorizations of Dirac operators to proper Riemannian submersions of spin$^c$ manifolds. This allows us to show that the Dirac operator on the total space of an almost-regular fibration can be written as the tensor sum of a vertically elliptic family of Dirac operators with the horizontal Dirac operator, up to an explicit `obstructing' curvature term. We conclude by showing that the tensor sum factorization represents the interior Kasparov product in bivariant K-theory.

研究の動機と目的

• スピン$^c$多様体の正規なリーマン的ファイブレーションへのディラック作用素の因子分解を一般化すること、非コンパクトな場合を含む。
• 正規ファイブレーション上の縦方向に正則で、対称的な一階微分作用素が非有界カスパロフモジュールを定義することを確立すること。
• ほぼ正則なファイブレーションの全空間上でのディラック作用素が、明示的な曲率補正項を伴って縦方向および横方向の成分に分解されることを示すこと。
• このテンソル和因子分解が、2次元K理論における内部カスパロフ積を表していることを証明すること。
• 曲率情報を失う有界KK理論とは異なり、幾何的データ（曲率など）を保存する非有界代表元としてのカスパロフ積の幾何的表現を提供すること。

提案手法

• 正規リーマン的ファイブレーション上での縦方向に正則で、対称的な一階微分作用素から非有界カスパロフモジュールを構成する。
• 垂直スピン接続∇を定義し、これにより横方向ディラック作用素DBを構成する。
• 全ディラック作用素DMをDM = DV ⊗1 + 1⊗∇DB + Ωと表現する。ここでΩは明示的な曲率項である。
• 半閉じたチェーンの内部テンソル積を用いて、非有界KK理論におけるカスパロフ積を表現する。
• 半閉じたチェーンに一般化されたキュセロフスキーの定理を適用し、カスパロフ積の構造を検証する。
• 全空間M上のディラック作用素の引き戻しが、KK理論におけるテンソル和の類と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン$^c$多様体のほぼ正則なファイブレーション上でのディラック作用素は、非有界KK理論において縦方向および横方向の成分に因子分解可能か？
• RQ2 全ディラック作用素の分解における曲率項Ωはどのように生じるのか？幾何的意味は何か？
• RQ3 ディラック作用素のテンソル和因子分解は、2次元K理論における内部カスパロフ積を表しているか？
• RQ4 非有界代表元は、有界KK理論とは異なり、曲率などの幾何的データを保存できるか？
• RQ5 これらの結果は、非コンパクトおよび特異的ファイブレーションへの以前の因子分解定理をどの程度一般化するか？

主な発見

• ほぼ正則なファイブレーションの全空間上でのディラック作用素は、DM = DV ⊗1 + 1⊗∇DB + Ωと因子分解可能であり、DVは縦方向に正則なディラック作用素族、Ωは明示的な曲率項である。
• テンソル和因子分解は、2次元K理論における内部カスパロフ積を表しており、ı∗[DM] = [DV ]b⊗C0(B)[DB] が成り立つ。
• 曲率項Ωは有界KK理論では見えないが、非有界KK理論では保存されるため、非有界代表元の利点が顕在化される。
• M上のディラック作用素の拡張によるゼロへの引き戻しは、ı∗[DM] = [DM] を満たし、KK理論における因子分解と整合性を持つ。
• 結果は、非コンパクトなスピン$^c$多様体間の正規リーマン的ファイブレーションへの以前の因子分解定理を一般化する。
• トーラス作用がスピン$^c$多様体に作用する場合にも適用可能であり、主ストラトム上でのディラック作用素はDN = DV ⊗1 + 1⊗∇DN0/G + Ωと分解される。