[論文レビュー] Factorization of weakly continuous holomorphic mappings

Manuel González, Joaqín M. Gutiérrez|arXiv (Cornell University)|May 24, 1996

Advanced Banach Space Theory参考文献 16被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、複素バナッハ空間間の弱く一様連続な全純写像に関する因数分解定理を確立する：全純写像は、有界集合上で弱く一様連続であるための必要十分条件として、$ f = g \circ S $ と因数分解されること、ここで $ S $ はコンパクト作用素であり、$ g $ は全純である。この結果は、弱く連続な多重線形写像の新たな特徴付けに基づくもので、弱く有界な集合上で弱く連続であることと弱く一様連続であることの同値性を示す。これは、より粗い位相では成り立つが、より強い位相では成り立たない。この結果により、アロンが提起した長年の未解決問題が解決される。

ABSTRACT

We prove a basic property of continuous multilinear mappings between topological vector spaces, from which we derive an easy proof of the fact that a multilinear mapping (and a polynomial) between topological vector spaces is weakly continuous on weakly bounded sets if and only if it is weakly {\it uniformly\/} continuous on weakly bounded sets. This result was obtained in 1983 by Aron, Hervés and Valdivia for polynomials between Banach spaces, and it also holds if the weak topology is replaced by a coarser one. However, we show that it need not be true for a stronger topology, thus answering a question raised by Aron. As an application of the first result, we prove that a holomorphic mapping $f$ between complex Banach spaces is weakly uniformly continuous on bounded subsets if and only if it admits a factorization of the form $f=g\circ S$, where $S$ is a compact operator and $g$ a holomorphic mapping.

研究の動機と目的

• 複素バナッハ空間の有界部分集合上で弱く一様連続な全純写像を特徴付けること。
• アロンが提起した、任意のベクトル位相において、有界集合上で連続であることと一様連続であることの同値性が成り立つかどうかという問いを解決すること。
• 多項式および多重線形写像に関して既知の弱連続性と弱一様連続性の同値性を、より一般の位相線形空間へと拡張すること。
• コンパクト性と弱一様連続性に基づいた全純写像の因数分解結果を提供すること。
• 強い位相において、同値性が成り立たないことを示し、$ L_1[0,1] $ 上の $ ckw $ 位相を反例として用いること。

提案手法

• 多重線形写像の連続性に関する一般的基準を証明する：多重線形写像が部分集合上で連続であるための必要十分条件は、その部分集合内のコーシー列をコーシー列に写像することである。
• 弱有界集合が弱前コンパクトであることを利用し、弱有界集合上で弱連続であることと、弱一様連続であることの同値性を示す。
• 弱位相より細いが、収束列は同じである $ ckw $ 位相を $ L_1[0,1] $ に導入し、多項式が連続であっても一様連続ではない反例を構成することで、強い位相下での一様連続性の不成立を示す。
• 全純写像に対しては、そのテイラー級数展開（同次多項式の和）に着目し、主な連続性基準を適用する。
• 既知の因数分解定理の精密化を用いて、各同次多項式をコンパクト作用素と弱連続多項式を介して因数分解する。
• 全全純写像の因数分解を、$ f = g \circ S $ の形に構成する。ここで $ S $ はコンパクトであり、$ g $ は全純かつ有界集合上で弱く一様連続である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のベクトル位相において、バナッハ空間間の多項式について、有界集合上で弱連続であることと弱一様連続であることの同値性が成り立つか？
• RQ2 弱位相より粗い位相において、多重線形写像に関して弱連続性と弱一様連続性の同値性が成り立つか？
• RQ3 有界集合上で弱く一様連続な全純写像は、常にコンパクト作用素と全純写像を介して因数分解可能か？
• RQ4 弱位相より強い位相において、連続性から一様連続性が導かれない反例は存在するか？
• RQ5 $ S $ がコンパクトで $ g $ が全純であるような因数分解 $ f = g \circ S $ は、有界集合上で弱く一様連続な全純写像を完全に特徴付けるか？

主な発見

• 位相線形空間間の多重線形写像は、弱有界集合上で弱く一様連続であることと、その集合上で弱く連続であることの同値性を示す。この結果は、弱位相より粗い任意の位相で成り立つ。
• 強い位相では、弱連続性と弱一様連続性の同値性は成り立たない：$ L_1[0,1] $ 上の多項式は有界集合上で $ ckw $ 位相で連続であるが、$ ckw $ 位相で一様連続ではない。
• 複素バナッハ空間間の全純写像 $ f $ が有界集合上で弱く一様連続であるならば、$ f = g \circ S $ と因数分解可能である。ここで $ S $ はコンパクト作用素であり、$ g $ は全純である。
• 因数分解は有効的である：任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、各同次多項式成分について $ \|Q\| \cdot \|S\|^k \leq (1+\epsilon)\|\hat{P}\| $ が成り立つ。
• 弱く一様連続な全純写像のテイラー級数は、有限型多項式によって一様近似可能であり、既知の有限型多項式による近似結果を拡張する。
• $ f = g \circ S $ における因数分解は、有界集合上で弱く一様連続な全純写像を特徴付けるために必要かつ十分であり、このような写像の完全な特徴付けを提供する。