[論文レビュー] Factorization theory for a class of Toeplitz + Hankel operators

Estelle Basor, Torsten Ehrhardt|ArXiv.org|Apr 2, 2002

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、Hardy空間 $H^p(\mathbb{T})$ 上のトーペィツ＋ハンケル作用素 $M(\phi) = T(\phi) + H(\phi)$ に対する因数分解理論を確立し、$M(\phi)$ が可逆であるための必要十分条件として、生成関数 $\phi$ がインデックスゼロの特定の一般化された非対称因数分解をもつことであることを証明している。この理論は、古典的なウィーナー＝ホプフ因数分解をこの作用素類に拡張したものであり、複素パラメータとジャンプ不連続性を含む新しい種類の因数分解を導入し、可逆性を保証するための実部に関する明確な条件を提示している。

ABSTRACT

In this paper we study operators of the form $M(ϕ)=T(ϕ)+H(ϕ)$ where $T(ϕ)$ and $H(ϕ)$ are the Toeplitz and Hankel operators acting on $H^p(\T)$ with generating function $ϕ\in L^\iy(\T)$. It turns out that $M(ϕ)$ is invertible if and only if the function $ϕ$ admits a certain kind of generalized factorization.

研究の動機と目的

• 作用素 $M(\phi) = T(\phi) + H(\phi)$ が $H^p(\mathbb{T})$ 上で定義される場合の因数分解理論を構築すること。
• 生成関数 $\phi \in L^\infty(\mathbb{T})$ の新しい種類の一般化因数分解を用いて、$M(\phi)$ の可逆性を特徴づけること。
• トーペィツ作用素に対する古典的フレドホルム理論を、より複雑なトーペィツ＋ハンケル作用素のケースに拡張すること。
• 特に、有限個のジャンプ不連続性を持つ関数に対して、可逆性を保証する因数分解のパラメータに関する明確な条件を同定すること。

提案手法

• 複素指数 $\beta^+, \beta^-, \beta_r^+, \beta_r^-$ およびゼロでない連続関数 $b$（巻き数がゼロ）を含む、$\phi \in L^\infty(\mathbb{T})$ に対する新しい一般化非対称因数分解のクラスを導入し、定義する。
• 恒等式 $M(\phi\psi) = M(\phi)M(\psi) + H(\phi)M(\widetilde{\psi} - \psi)$ を用いて、特定の対称性および正則性条件の下で可逆性基準を導出する。
• 関数 $\phi$ がインデックス $\varkappa = 0$ の弱非対称因数分解をもつならば、$M(\phi)$ はフレドホルム作用素であり、インデックスがゼロであることを示す。この因数分解の一意性は、命題 3.1 による。
• $\phi = b \psi$ と書けるとき、$\psi$ が $\varkappa = 0$ の因数分解をもち、$b$ が巻き数ゼロならば、$M(\phi)$ は可逆であることを証明する。
• リエス射影とフラップ作用素 $J$ を用いて、$M(\phi)$ を $PL(\phi)(I + J)P$ の形に表現し、ノルム推定と作用素論的解析を可能にする。
• 重み付き $L^p$ 空間および $A_p$-型条件の理論を用いて、特にジャンプ不連続性を持つ関数に対して、可逆性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\phi \in L^\infty(\mathbb{T})$ がどのような条件下で、$H^p(\mathbb{T})$ 上の作用素 $M(\phi) = T(\phi) + H(\phi)$ を可逆にするか？
• RQ2 関数 $\phi$ のどの種類の一般化因数分解が $M(\phi)$ の可逆性を特徴づけ、古典的ウィーナー＝ホプフ因数分解とはどのように異なるか？
• RQ3 因数分解における複素指数 $\beta^+, \beta^-, \beta_r^+, \beta_r^-$ の実部が $M(\phi)$ の可逆性にどのように影響するか？
• RQ4 外因子 $b$ の巻き数が $M(\phi)$ の可逆性において果たす役割は何か？
• RQ5 関数 $\phi$ のスペクトル的挙動が点 $\pm1$ および $t_r, t_r^{-1}$ において、$M(\phi)$ の可逆性を特徴づける条件として用いられるか？

主な発見

• $M(\phi)$ が $H^p(\mathbb{T})$ 上で可逆であるための必要十分条件は、$\phi$ が $\phi = b \cdot t_{\beta^+} t_{\beta^-} \prod_{r=1}^R t_{\beta_r^+} t_{\beta_r^-}$ の形の一般化非対称因数分解をもつことである。ここで $b$ は連続的かつ非ゼロであり、巻き数がゼロとする。
• 可逆性は、指数の実部に関する明確な境界条件に依存する：$-1/q < \operatorname{Re}(\beta_r^+ + \beta_r^-) < 1/p$、$-1/2 - 1/2q < \operatorname{Re}(\beta^+) < 1/2p$、および $-1/2q < \operatorname{Re}(\beta^-) < 1/2 + 1/2p$。
• もし $M(\phi)$ が可逆ならば、$\phi$ はインデックス $\varkappa = 0$ の弱非対称因数分解をもつ必要があり、命題 3.1 が示すように、この因数分解は一意的である。
• $M(\phi)$ のフレドホルムインデックスがゼロであるための必要十分条件は、因数分解インデックス $\varkappa = 0$ であることであり、この条件のもとで $M(\phi)$ の可逆性と同値である。
• 因数分解における関数 $b$ は巻き数ゼロである必要があり、これは可逆性の必要条件である。これはインデックス公式および $H(b)$ のコンパクト性によって示される。
• 証明は、$M(\phi) = M(b)M(\psi) + H(b)M(\widetilde{\psi} - \psi)$ の分解に依拠しており、第二項はコンパクトであり、$b$ の巻き数条件により $M(b)$ はインデックスゼロのフレドホルム作用素である。