[論文レビュー] Faddeev-Jackiw quantization of spin-2 field

Michel Leclerc|ArXiv.org|Dec 20, 2006

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ひとこと要約

本稿では、質量ゼロのスピン2場に対してFaddeev-Jackiw束縛ハミルトニアン形式を適用し、電磁気学とは異なり、非伝搬モードをすべて消去するようなゲージ条件が存在しないことを示している。解析により、トレースレス・横断的テンソルモードのみが物理的自由度であることが判明するが、制約構造とゲージ構造のため、クーロンゲージの直接的な類似は不可能であり、制約削減後でさえもハミルトニアンは非伝搬モードに依存し続ける。

ABSTRACT

We apply the Faddeev-Jackiw method to the Hamiltonian analysis of the massless spin-two field. As expected, the reduced Hamiltonian contains only the traceless-transverse tensor, while some, but not all of the non-propagating components are determined by the constraints of the theory. In particular, it is concluded that no gauge choice can be imposed on the fields such that only the propagating modes remain in the theory, meaning that for the spin-2 field there is no direct analogue to the Coulomb gauge of electromagnetism. Implications for General Relativity are discussed.

研究の動機と目的

• スピン2場に対して、電磁気学におけるクーロンゲージに類似した非伝搬成分をすべて消去するようなゲージ条件が存在するかを調査すること。
• 線形化重力のFierz-PauliラグランジアンにFaddeev-Jackiw形式を適用し、事前のゲージ固定なしに物理的自由度を同定すること。
• スピン1（電磁気学）とスピン2（線形化重力）理論のハミルトニアン形式における構造的差異、特にゲージ不変性と制約構造の観点から明確にすること。
• 制約削減後にハミルトニアンが非物理的成分に依存しないか、完全に伝搬モードのみに還元できるかを同定すること。

提案手法

• スピン2場のFierz-Pauliラグランジアンの第一形式にFaddeev-Jackiw法を適用し、不要な運動量変数の導入を避ける。
• 独立変数として$ h_{0\theta}, h_{00}, h_{\mu\nu} $を選び、それらの共役運動量をラグランジアンから直接導出。制約として扱わず、物理的変数と補助変数に分離する。
• 速度を運動量関係式で消去することでハミルトニアンを構成し、物理的および補助的変数の第一形式作用を導出。
• シンプレクティック構造が退化する条件から制約面を導出し、非伝搬成分を決定する方程式を導出。
• 解析により、$ h_{\mu\nu} $ のトレースレス・横断的成分が唯一の物理的自由度である一方で、残りの成分は制約下にありながらも、ゲージ条件では完全に消去されないことが判明。
• ハミルトニアンのゲージ不変性を検証し、それはゲージモードとは独立ではなく、制約面の上でのみ不変であることが判明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン2場に、電磁気学におけるクーロンゲージに類似したゲージ条件を適用し、トレースレス・横断的テンソルモードのみを残せるか。
• RQ2 線形化重力では、伝搬自由度の数え上げ的議論が完全なゲージ固定をもたらさないのはなぜか。
• RQ3 Faddeev-Jackiw形式は、スピン1理論と比較してスピン2理論におけるゲージ固定の限界をどのように明らかにするか。
• RQ4 制約削減後にスピン2場のハミルトニアンが非伝搬成分に依存しないか、それらにまだ依存するか。
• RQ5 制約$ h^{\mu\nu}_{\ \ ,\mu,\nu} - \Delta h = 0 $は、理論の物理的内容を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• Faddeev-Jackiw法により、対称テンソル$ h_{\mu\nu} $ のトレースレス・横断的成分のみが物理的かつ伝搬自由度に対応することが確認された。
• 削減されたハミルトニアンにはトレースレス・横断的テンソルのみが含まれるが、非伝搬成分はいかなるゲージ条件でも完全に消去されない。
• 対称テンソル場の8つの非伝搬成分をすべて除去するようなゲージ条件は存在せず、電磁気学におけるクーロンゲージが縦方向および時間的モードを消去するのとは対照的である。
• 制約$ h^{\mu\nu}_{\ \ ,\mu,\nu} - \Delta h = 0 $は、ゲージ自由度とは独立に解くことはできず、厳密なトレースレス・横断的ゲージを不可能にする。
• ハミルトニアンは電磁気学と同様にゲージ不変ではない。制約面を通じてゲージモードに依存するため、完全に分離することは不可能である。
• 制約と運動方程式を満たすが、全場方程式を満たさない明示的な反例が構成された。これは、方程式$ \ddot{h} + \Delta h_{00} - 2\dot{h}^{0\mu}_{\ \ ,\mu} = 0 $が欠落しているためであり、この方程式がなければ系は未定義であることを証明した。