[論文レビュー] Fair Allocation of Indivisible Goods: Improvement and Generalization

Mohammad Ghodsi, Mohammad Taghi Hajiaghayi+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 43被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、還元可能性、マッチング配分、サイクル envy-free 性といった新しい技術を用いて、加法的設定下での分割不能財の公平配分における近似保証を、2/3 から 3/4 の最大最小割当（MMS）に改善した。さらに、劣微分的、XOS、劣加法的評価関数へ一般化し、それぞれ定数因子および対数的近似を提供するが、すべてのケースで多項式時間アルゴリズムを提示した。

ABSTRACT

We study the problem of fair allocation for indivisible goods. We use the the maxmin share paradigm introduced by Budish as a measure for fairness. Procaccia and Wang (EC'14) were first to investigate this fundamental problem in the additive setting. In contrast to what real-world experiments suggest, they show that a maxmin guarantee (1-MMS allocation) is not always possible even when the number of agents is limited to 3. While the existence of an approximation solution (e.g. a $1/2$-MMS allocation) is quite straightforward, improving the guarantee becomes subtler for larger constants. Procaccia provide a proof for existence of a $2/3$-MMS allocation and leave the question open for better guarantees. Our main contribution is an answer to the above question. We improve the result of [Procaccia and Wang] to a $3/4$ factor in the additive setting. The main idea for our $3/4$-MMS allocation method is clustering the agents. To this end, we introduce three notions and techniques, namely reducibility, matching allocation, and cycle-envy-freeness, and prove the approximation guarantee of our algorithm via non-trivial applications of these techniques. Our analysis involves coloring and double counting arguments that might be of independent interest. One major shortcoming of the current studies on fair allocation is the additivity assumption on the valuations. We alleviate this by extending our results to the case of submodular, fractionally subadditive, and subadditive settings. More precisely, we give constant approximation guarantees for submodular and XOS agents, and a logarithmic approximation for the case of subadditive agents. Furthermore, we complement our results by providing close upper bounds for each class of valuation functions. Finally, we present algorithms to find such allocations for additive, submodular, and XOS settings in polynomial time.

研究の動機と目的

• 分割不能財の公平配分における理論的保証と実験的観察の間のギャップを埋めること。
• 加法的評価関数における既存の最良近似比を 2/3 を超えて改善し、3/4-MMS 配分を達成すること。
• 劣微分的、分数的劣加法的（XOS）、劣加法的関数を含む非加法的評価関数クラスへの公平性保証の拡張。
• 加法的、劣微分的、XOS の設定下で公平配分を計算する多項式時間アルゴリズムの提供。
• 各評価関数クラスにおける近似比のタイトな上限を確立すること。

提案手法

• 配分の複雑さを低減するため、エージェントクラスタを簡略化する還元可能性の概念を導入した。
• 公平性保証をエージェントグループ全体に維持するように、マッチング配分を用いてバndlを割り当てた。
• 巡回的 envy サイクルを防ぎ、配分プロセスの安定性を確保するため、サイクル envy-free 性を定義した。
• 近似比を束縛するために、着色に基づく解析で確率的および二重数え上げの議論を用いた。
• 線形計画法の双対性と確率的セットカバレッジを用いて、劣加法的関数の近似下限を導出した。
• 対数的近似要因を介して劣加法的関数を XOS 関数に還元し、より広いクラスへの結果の拡張を可能にした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的評価関数における 2/3-MMS 近似保証を改善することは可能か？
• RQ2 劣微分的および XOS 評価関数において、定数因子 MMS 近似を達成することは可能か？
• RQ3 分割不能財の公平配分において、劣加法的評価関数の最良近似比は何か？
• RQ4 非加法的評価関数関数の下で、公平配分を計算する多項式時間アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ5 異なる評価関数クラスにおける MMS 近似比のタイトな上限は何か？

主な発見

• 本論文は、加法的評価関数に対して 3/4-MMS 配分を達成し、以前の 2/3 保証を改善した。
• 劣微分的および XOS 評価関数に対しては、定数因子 MMS 近似を提供したが、その正確な因子は関数クラスに依存する。
• 劣加法的評価関数に対しては、1/(10⌈log m⌉)-MMS 近似を確立した。これは、現在までに知られている最良の結果である。
• 本論文は、与えられたアルゴリズム枠組み下で、加法的エージェントにおける 3/4-MMS 保証がタイトであることを証明した。
• 加法的設定では 3/4-MMS 配分を計算する多項式時間アルゴリズムを提示した。また、劣微分的および XOS の設定でも定数因子 MMS 配分を計算する多項式時間アルゴリズムを提供した。
• 本論文は、劣加法的エージェントにおける対数的近似要因が漸近的にタイトであることを確立した。これは、既知の上限と一致する。