[論文レビュー] Fair and profitable bilateral prices under funding costs and collateralization

Tianyang Nie, Marek Rutkowski|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、資金調達コストと担保措置を伴うオTCデリバティブ取引において、片側価格を後向き確率的微分方程式（BSDE）でモデル化することで、公平かつ利益を上げられる二重価格枠組みを構築する。主な貢献は、複数の資金調達レートとマージン口座を有する非線形市場モデルにおいて、公平な二重価格の範囲を導出し、初期純資産に応じた片側価格の単調性を証明することである。

ABSTRACT

Bielecki and Rutkowski (2014) introduced and studied a generic nonlinear market model, which includes several risky assets, multiple funding accounts and margin accounts. In this paper, we examine the pricing and hedging of contract both from the perspective of the hedger and the counterparty with arbitrary initial endowments. We derive inequalities for unilateral prices and we give the range for either fair bilateral prices or bilaterally profitable prices. We also study the monotonicity of a unilateral price with respect to the initial endowment. Our study hinges on results for BSDE driven by continuous martingales obtained in Nie and Rutkowski (2014), but we also derive the pricing PDEs for path-independent contingent claims of European style in a Markovian framework.

研究の動機と目的

• 資金調達コストと担保措置を伴う非線形市場モデルにおいて、ヘッジャーと相手方の資金調達レートと初期純資産が非対称な状況下でのOTCデリバティブの二重価格を分析すること。
• 既存のアービトラージフリー価格理論を、非ゼロの初期純資産を組み込むことで拡張し、非線形設定下で片側価格に影響を及ぼす要因を明らかにすること。
• 公平な二重価格の範囲と、両者にとって利益をもたらす取引が成立する条件を導出し、アービトラージが生じない相互利益を保証すること。
• 古典的モデルの線形性仮定に反して、各当事者の初期純資産に応じた片側価格の単調性を確立すること。
• マルコフ的かつパスに依存しないヨーロピアン・オプション枠組みにおいて、価格設定とヘッジ戦略のPDEベースの特徴付けを提供すること。

提案手法

• 部分的ネットティング、複数の資金調達口座（貸出・融資レート）および外生的マージン口座による担保措置を備えた市場モデルを形式化する。
• 連続マルティンゲールを駆動とする後向き確率的微分方程式（BSDE）を用いて、両当事者の価格設定とヘッジ問題をモデル化する。
• 適切に選ばれたマルティンゲール測度を用いたアービトラージの議論により、一般条件下でBSDEの解の存在と一意性を確立する。
• 非線形Feynman-Kacの公式を用いて、マルコフ的設定下でのパスに依存しないヨーロピアン・クレームに対して準線形PDEを導出する。
• 滑らかでない係数に対しても、可視性解理論を用いてPDEが解を特徴付けることを保証し、古典的解が存在しない場合でも有効であることを示す。
• BSDEの解とPDEに基づくヘッジポジションを用いて、ヘッジャーと相手方の両方の明示的レプリケーション戦略を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 資金調達コストを伴う非線形市場モデルにおいて、非ゼロの初期純資産がヘッジャーと相手方の片側価格にどのように影響を与えるか？
• RQ2 担保措置が行われる非線形取引条件下で、両当事者にとって公平かつ利益をもたらす二重価格の範囲は何か？
• RQ3 片側価格が当事者の初期純資産に関して単調であるための条件は何か？
• RQ4 資金調達コストと担保措置を含めた場合、ヨーロピアン・クレームの価格PDEはどのように変化し、線形ケースではブラック・ショールズPDE（5.42）にどのように簡略化されるか？
• RQ5 PDEが滑らかでない場合、BSDEアプローチは解の確率的表現を提供できるか？また、古典的PDE手法と比較してどのように異なるか？

主な発見

• ヘッジャーの片側価格は彼の初期純資産 $x_1$ に依存し、同様に相手方の価格も $x_2$ に依存する。これは、古典的モデルのゼロ純資産仮定を否定する。
• 非担保または部分的担保の状況下では、公平な二重価格が存在し、相手方の片側価格（下限）とヘッジャーの片側価格（上限）で囲まれた範囲内に位置する。
• 両者にとって利益をもたらす価格が存在するのは、ヘッジャーの片側価格が相手方のそれを上回る場合に限られ、これは両者に利益をもたらす取引がアービトラージなしで成立する条件と同値である。
• マルコフ的枠組み下では、ヘッジャーと相手方の除配価格はそれぞれ異なる準線形PDE（5.34および5.39）によって特徴付けられ、それらはそれぞれの初期純資産に依存する。
• 資金調達レートが等しい場合（$r^l = r^b = r$）、PDEは古典的ブラック・ショールズPDE（5.42）に簡略化され、線形ケースと整合的であることが確認される。
• 古典的滑らかさの仮定が成り立たない場合でも、PDEの可視性解は関連するBSDEの唯一の解に対応し、価格枠組みのロバスト性が保証される。