[論文レビュー] Fair Division with Bounded Sharing: Binary and Non-Degenerate Valuations

Samuel Bismuth, Ivan Bliznets+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2019

Game Theory and Voting Systems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、加法的効用を持つエージェント間における分割可能な対象の公平配分を研究し、割合配分、無利害配分、均等配分といった公平性制約の下で共有対象の数を最小化することに注力している。線形計画法を用いて共有の上界を確立し、最小共有を求める問題が、2人のエージェントに対してもNP困難であることを証明しており、分数パレート最適性を要求しない正確な公平配分の計算的困難さを強調している。

ABSTRACT

A set of objects is to be divided fairly among agents with different tastes, modeled by additive utility-functions. If we consider the objects as indivisible, many instances of the decision problem: ``Is there a fair division of the objects among the agents'' are negative. In addition, this question is hard to solve even for most of the special cases. The latter reasons give us a good motivation to relax the problem for which the running time complexity is better, and the number of positive instances (admitting a fair division) will significantly grow. Whereas many works relax the fairness criteria, this paper introduces another relaxation: an agent is allowed to share a \emph{bounded} number of objects between two or more agents in order to attain fairness. The paper studies various notions of fairness, such as proportionality, envy-freeness, equitability, and consensus. We analyze the run-time complexity of finding a fair allocation with a given number of sharings under several restrictions on the agents' valuations, such as: binary, generalized-binary, and non-degenerate.

研究の動機と目的

• 正確な公平性が要求されるが、資金移動が許可されない状況における共有対象の数を最小化すること。
• 可能な限り少ない共有で公平な割り当てを求める際の計算複雑性を分析すること、特に分数パレート最適性を要求しない場合を含む。
• 分割可能な財を扱う公平配分において、公平性、最小共有、計算効率の間のトレードオフを比較すること。
• 分数パレート最適性の要件を緩和することで、真実性を持つメカニズムの可能性を検討すること。

提案手法

• 比例配分や無利害配分といったさまざまな公平性基準に対して、必要な共有数の上界を導出するために線形計画法の技術を用いる。
• すべてのエージェントが各バンドルに等しい価値を割り当てるコンセンサス分割の概念を用い、真実性を持つメカニズム設計を支援する。
• 共有数の最小化問題を、非ゼロ変数の数が有界な線形計画問題に還元し、これをMin-RVLSと呼ぶ。
• 分割問題からの還元を用いて、共有数の最小化がNP困難であることを証明し、2人のエージェントに対しても計算的に困難であることを示している。
• 非退化評価値に対して、DistincBalancedPartition問題からの新たな還元を用いて、最小化問題のNP困難性を確立している。
• 分数パレート最適性を仮定した先行研究と比較し、この制約を除外することで複雑性が著しく増加することを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比例配分、無利害配分、均等配分を達成するために、最小でどの程度の対象が共有されなければならないか？
• RQ2 公平性が要求されるが、分数パレート最適性が課せられない状況で、共有数を効率的に最小化できるか？
• RQ3 非退化評価値に対しても、公平な割り当てで共有数を最小化する多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 分数パレート最適性が欠如している場合、公平な割り当ての数や最小共有解を求める際の複雑性にどのような影響があるか？
• RQ5 分数パレート最適性の条件を緩和することで、真実性を持つ公平配分メカニズムを設計できるか？

主な発見

• 比例配分または無利害配分を達成するために必要な共有数は、一般に $ n-1 $ 以下であり、この上界は一般にタイトである。
• コンセンサス分割では、共有数は $ n(n-1) $ 以下であり、そのような割り当てを計算する弱多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 公平性制約の下で共有数を最小化することは、2人のエージェントおよび非退化評価値に対してもNP困難である。
• 退化評価値に制限を設けても、問題のNP困難性は維持され、これは問題の構造そのものに起因する本質的な困難さを示している。
• 分数パレート最適性の制約がない場合、公平な割り当ての数は超多項式的になり得るため、そのような割り当ての数に対する多項式上界は存在しない。
• NP困難性の結果は、分割問題からの還元によって確立されており、線形システムにおける非ゼロ変数の最小数に対するわずかな加法的近似も多項式時間では達成不可能であることを示している。