[論文レビュー] Fair k-Center Clustering for Data Summarization

Matthäus Kleindeßner, Pranjal Awasthi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 35被引用数 42

ひとこと要約

本論文は、グループ別制約の下でフェアな k-中心クラスタリングの線形時間近似フレームワークを提示し、2グループに対して5-approximation、mグループに対して(3·2^{m-1}−1)-approximationを達成し、再帰的および交換ベースの手法を用いる。

ABSTRACT

In data summarization we want to choose $k$ prototypes in order to summarize a data set. We study a setting where the data set comprises several demographic groups and we are restricted to choose $k_i$ prototypes belonging to group $i$. A common approach to the problem without the fairness constraint is to optimize a centroid-based clustering objective such as $k$-center. A natural extension then is to incorporate the fairness constraint into the clustering problem. Existing algorithms for doing so run in time super-quadratic in the size of the data set, which is in contrast to the standard $k$-center problem being approximable in linear time. In this paper, we resolve this gap by providing a simple approximation algorithm for the $k$-center problem under the fairness constraint with running time linear in the size of the data set and $k$. If the number of demographic groups is small, the approximation guarantee of our algorithm only incurs a constant-factor overhead.

研究の動機と目的

• フェアネス制約を考慮したデータ要約の動機付けを行う。
• フェアな k-センター問題をグループ割当で形式化する。
• グループ割当を尊重する線形時間の近似アルゴリズムを開発する。
• 複数グループを扱うための再帰的および交換ベースのアプローチを提供する。
• ベースラインに対する理論的保証と経験的性能を評価する。

提案手法

• C0'が与えられた不公平問題のサブルーチンとしてGonzalez-style greedy 2-approximationを用いる（Algorithm 1）。
• 2グループの場合、グループ間で Centers を入れ替える手順を適用し、その後、縮約されたインスタンスを再帰的に解く（Algorithm 2）。
• 中心交換手順（Algorithm 3）を導入し、センター間の交換を短い経路に沿って伝搬させるためのグループ上の有向グラフを使用する。
• 任意の m グループへ拡張する再帰フレームワーク（Algorithm 4）を用い、Algorithm 3と一部のグループの縮約インスタンスを組み合わせる。
• 線形時間の実行保証を提供する: m=2 の場合は O((k+|C0|)|S|)、一般的な m の場合は O(((|C0|m+km^2)|S|+km^4))、定数時間での距離評価の下で。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グループ割当を満たしつつ、線形時間でフェアな k-センタークラスタリングを実現するにはどうすればよいか？
• RQ2 2グループとそれ以上のグループで、フェアな k-センターの近似因子はそれぞれどのくらい達成可能か？
• RQ3 グループ間の中心交換を素早く実現して、公平性の制約に近づくには二次計算のペナルティを避けられるか？
• RQ4 提案手法は、理論・実践の面でマトロイドベースやベースラインヒューリスティクスとどう比較されるか？
• RQ5 グループ数が増えると近似保証のトレードオフはどう変化するか？

主な発見

• Algorithm 1 (greedy) は不公平問題に対して線形時間で2近似を達成。
• Algorithm 2 は m=2 に対してフェアネス制約下で5近似を達成し、計算量は O((k+|C0|)|S|)。
• Algorithm 3 は多項式時間内に有効な G を得てフェアネスへ進むための中心交換機構を提供。
• Algorithm 4 は任意の m に対して (3·2^{m-1}−1)-近似を与え、計算時間は O((|C0|m+km^{2})|S|+km^{4}) となる；下界は最悪 case で因子が指数的になる可能性を示すが、経験的には中程度の因子。
• 比較は、線形時間法が大規模データ領域で先行の二次時間マトロイド交差法を上回り、目的関数コストでも競争力があることを示す。
• 実験は実用的な有用性と、不公平なベースラインに対する公正性の代償を示す。