[論文レビュー] Faisceaux automorphes pour GL(n): la premiere construction de Drinfeld

Gérard Laumon|ArXiv.org|Nov 7, 1995

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、GL(2)の尖型自己保型表現に対するWhittakerモデルの存在に基づき、GL(n)に対する自動的層のドリンフェルトの最初の構成を提示する。このアプローチを任意のランクnへと予想的に拡張し、コンパクトなリーマン面上のベクトル束のモジュライ空間における自動的層の構成を、特徴量に依存しない表現論および代数幾何学的メソッドを用いて枠組みづけている。

ABSTRACT

Drinfeld a associe a tout systeme local irreductible de rang 2 sur une surface de Riemann compacte un "faisceau automorphe". Ce faisceau automorphe vit sur l'espace de modules des fibres vectoriels de rang 2 sur cette meme surface de Riemann. En fait, Drinfeld a donne deux constructions de ce faisceau automorphe. La premiere est basee sur l'existence d'un modele de Whittaker pour toute representation automorphe cuspidale pour GL(2). Elle garde un sens en caracteristique positive et elle s'etend conjecturalement en rang n arbitraire. La seconde construction est basee sur un calcul explicite de l'anneau des sections globales d'un certain faisceau d'operateurs differentiels sur l'espace de modules des fibres vectoriels. Elle n'a pour l'instant de sens qu'en caracteristique nulle mais, par contre, elle est de portee plus generale que la premiere construction car elle a un sens non seulement pour GL(n) mais aussi pour un groupe reductif arbitraire. Ceci est le texte de deux exposes consacres a la premiere construction de Drinfeld et a son extension conjecturale en rang n arbitraire, que j'ai donnes a Luminy lors du Colloque "Fibres vectoriels sur les courbes et theorie de Langlands", en juin 1995.

研究の動機と目的

• 尖型自己保型表現のWhittakerモデルを用いて、GL(2)に対するドリンフェルトの最初の自動的層の構成を説明すること。
• 類似のWhittakerモデル技法を用いて、この構成を高ランク群GL(n)へと予想的に拡張すること。
• コンパクトなリーマン面上のベクトル束のモジュライ空間における層を通じた自動的形式の幾何的実現を確立すること。
• 特徴量に依存しない手法が構成に果たす役割を明確にし、正の特徴量でも有効であることを保証すること。
• 幾何Langlands理論および自動的形式の研究者を対象として、最初の構成の基礎的解説を提供すること。

提案手法

• GL(2)の尖型自己保型表現に対するWhittakerモデルの存在を、中心的な技術的入力として用いる。
• 自動的層を、コンパクトなリーマン面上のランク2ベクトル束のモジュライ空間上の幾何的対象として構成する。
• 特に層論およびモジュライスタック上の微分作用素の理論を用いた代数幾何学的手法を適用する。
• 正の特徴量における自動的形式の理論およびその幾何的双対を根拠とする。
• Whittakerモデルのアプローチの予想的一般化を通じて、GL(2)の構成をGL(n)に拡張する。
• モジュライ空間上の微分作用素の層の正則切断を用いたD-加群の枠組みを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、表現論的データを用いてGL(n)の自動的層を幾何学的に構成できるか？
• RQ2 Whittakerモデルは、GL(2)における自動的層の構成および高ランクへの一般化において、果たす役割は何か？
• RQ3 ドリンフェルトの最初の構成は、任意のランクnへどのように拡張可能であり、そのために必要な予想的仮定は何か？
• RQ4 正の特徴量においてこの構成はどのように振る舞い、他のアプローチと比較してなぜより強固なのか？
• RQ5 ベクトル束のモジュライ空間と、層による自動的形式の幾何的実現との関係は何か？

主な発見

• ドリンフェルトのGL(2)に対する自動的層の最初の構成は、尖型自己保型表現のWhittakerモデルの存在に基づいている。
• この構成は任意の特徴量で有効であり、算術的応用に適している。
• 自動的層は、コンパクトなリーマン面上のランク2ベクトル束のモジュライ空間上の層として実現される。
• この方法は、任意のnに対してGL(n)へと予想的に拡張可能であり、特徴量に依存しない性質を保っている。
• このアプローチにより、モジュライスタック上の層論的構成を通じて自動的形式の幾何的実現が可能である。
• この構成は、正則切断の明示的計算に基づく第二の方法とは異なり、現在は特徴量0に限定されている。