[論文レビュー] Faisceaux pervers sur les espaces d'arcs I: Le cas d'\'egales caract\'eristiques

Alexis Bouthier, David Kazhdan|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、等特徴的条件下における弧空間上の perverse sheaf の基礎的理論を確立し、弧空間が局所的に有限次元空間と無限次元アフィン空間の局所的プロ滑らか積であることを証明している。新たなトポスを導入して、l-進層の有界コンストラクティブルなカテゴリに t-構造とヴェルディエ双対性を定義し、Drinfeld-Grinberg-Kazhdanの定理からの有限次元モデルを用いて交線複体を構成している。

ABSTRACT

This article sets the foundations of a theory of perverse sheaves on arc spaces as it was conjectured by Feigin-Frenkel in 1990. We show a structure theorem which says that arc spaces are locally products of something finite dimensional times an infinite dimensional affine space for the pro-smooth topology. In particular, it answers a conjecture of Kollar and Nemethi. We then introduce a new topos, which allows us to define a bounded constructible category of l-adic sheaves equipped with a t-structure and with a Verdier dual. Finally we define an intersection complex whose fibers are given by the finite dimensional models obtained using Drinfeld-Grinbeg-Kazhdan's theorem.

研究の動機と目的

• Feigin および Frenkel が1990年に予想したように、弧空間上における perverse sheaf の理論を構築すること。
• Kollár および Némethi が提起した弧空間の局所構造に関する予想を解決すること。
• 弧空間上に t-構造およびヴェルディエ双対性を備えた有界コンストラクティブルな l-進層のカテゴリを構成すること。
• Drinfeld-Grinberg-Kazhdanの定理から得られる有限次元モデルを用いて、弧空間上での交線複体を定義すること。

提案手法

• 弧空間が有限次元スキームと無限次元アフィン空間の局所的プロ滑らか積であることを確立すること。
• 無限次元幾何を扱えるように、弧空間上のプロ滑らか位相に適した新たなトポスを導入すること。
• 新規トポス上に t-構造を備えた有界コンストラクティブルな l-進層のカテゴリを定義すること。
• トポス的枠組みを用いて、そのカテゴリにヴェルディエ双対性を導入すること。
• Drinfeld-Grinberg-Kazhdanの定理から得られる有限次元モデルを引き戻すことにより、交線複体を構成すること。
• 交線複体のファイバーが、これらの有限次元モデルと同型であることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弧空間が無限次元的であるにもかかわらず、等特徴的条件下で perverse sheaf をどのように定義できるか？
• RQ2 プロスムーズ位相の下で、弧空間の局所的幾何的構造はどのようなものか？
• RQ3 弧空間上に t-構造およびヴェルディエ双対性を備えた有界コンストラクティブルな l-進層のカテゴリを構成できるか？
• RQ4 有限次元モデルを用いて、弧空間上での交線複体をどのように実現できるか？
• RQ5 Drinfeld-Grinberg-Kazhdanの定理が、弧空間上での交線複体に対して、どの程度の有限次元モデルを提供するか？

主な発見

• 弧空間は、有限次元スキームと無限次元アフィン空間の局所的プロスムーズ積であることが確認され、Kollár および Némethi の予想が裏付けられた。
• 弧空間上での l-進層の有界コンストラクティブルなカテゴリを定義するための新たなトポスが構成された。
• このカテゴリは t-構造およびヴェルディエ双対性を備えており、この文脈における perverse sheaf の理論を可能にしている。
• 弧空間上での交線複体は、Drinfeld-Grinberg-Kazhdanの定理が提供する有限次元モデルをファイバーとして持つように構成された。
• Feigin および Frenkel が予想した、等特徴的条件下における弧空間上での perverse sheaf の理論が、本研究によって実現された。
• この枠組みは、l-進層を用いた特異点および表現論的不変量の研究の幾何的基盤を提供する。