[論文レビュー] Faithful actions of automorphisms on the space of orderings of a group

Thomas Koberda|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限生成で、余りがねじれを含まない冪零群であるような群の自己同型群が、その左不変順序の空間に忠実に作用することを確立する。位相的および代数的技法、特に正の錐の構造とホメオモルフィズム群への準同型を用いて、著者はその作用が単射であることを証明し、マッピングクラス群やグロモフ境界を備えた双曲群へと拡張する。

ABSTRACT

In this article we study the space of left- and bi-invariant orderings on a torsion-free nilpotent group $G$. We will show that generally the set of such orderings is equipped with a faithful action of the automorphism group of $G$. We prove a result which allows us to establish the same conclusion when $G$ is assumed to be merely residually torsion-free nilpotent. In particular, we obtain faithful actions of mapping class groups of surfaces. We will draw connections between the structure of orderings on residually torsion-free nilpotent, hyperbolic groups and their Gromov boundaries, and we show that in those cases a faithful $\Aut(G)$-action on the boundary is equivalent to a faithful $\Aut(G)$ action on the space of left--invariant orderings.

研究の動機と目的

• 余りがねじれを含まない冪零群の自己同型群が、その左不変順序の空間に忠実に作用することを確立すること。
• 自己同型作用が境界に及ぼす影響と順序への作用を関連付けることで、グロモフ境界を備えた双曲群へこの結果を拡張すること。
• 順序の構造と自己同型群の残余有限性の性質との関係を調査すること。
• 特に右角アーティン群において、外部自己同型群が双対不変順序の空間に忠実に作用する条件を同定すること。
• 忠実作用が一般には成り立たない反例を提示すること、例えばクラインのボトル群においてはそうである。

提案手法

• 左不変順序の空間を、次の公理を満たす正の錐によって、カントール空間の閉部分集合として定義する：逆元との不交和、乗法に対する閉包、非単位元の元の和が全体を覆う。
• 群 G が可算であるとき、空間 LO(G) に {0,1}^G 上の積位相を導入し、これはコンパクト Hausdorff 空間であり、カントール集合に位相的に同型である。
• 自己同型群 Aut(G) による自然な作用を、自己同型による順序の引き戻しによって定義する：g ≤_φ h とは φ(g) ≤ φ(h) であることを意味する。これにより、群準同型 ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G)) が誘導される。
• 非自明な自己同型が正の錐の非自明な置換を引き起こすことを示すことにより、この作用が忠実であることを証明する。この際、余りがねじれを含まない冪零構造を用いる。
• ホモロジー表現、特に H₁(G, ℚ) への作用を用いて、外部自己同型群がアーベル化に忠実に作用する場合の忠実性を示す。
• 双曲群が余りがねじれを含まない冪零群であると仮定すると、Aut(G) がグロモフ境界に忠実に作用することは、LO(G) に忠実に作用することと同値であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成群 G に対して、Aut(G) が左不変順序の空間 LO(G) に忠実に作用する条件は何か？
• RQ2 余りがねじれを含まない冪零群の順序構造は、そのグロモフ境界の位相とどのように関係しているか？
• RQ3 Out(G) が O(G) に忠実に作用できるか？その条件は何か？
• RQ4 アーベル化は、外部自己同型作用の忠実性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 Aut(G) が LO(G) に忠実に作用しない群は存在するか？その失敗の原因となる構造的特徴は何か？

主な発見

• 任意の有限生成で、余りがねじれを含まない冪零群 G に対して、写像 ψ_a: Aut(G) → Homeo(LO(G)) は単射であり、Aut(G) が LO(G) に忠実に作用することを示す。
• この結果は、マークド点付きの曲面のマッピングクラス群や自由群の自己同型群へも拡張され、これらはいずれも余りがねじれを含まない冪零群である。
• 余りがねじれを含まない冪零群である双曲群 G に対して、Aut(G) がグロモフ境界に忠実に作用することは、LO(G) に忠実に作用することと同値である。
• 一般の右角アーティン群 A_Γ において、外部自己同型群はアーベル化に忠実に作用し、したがって O(G) に対しても忠実に作用する。これは、準同型 Out(A_Γ) → Aut(H₁(A_Γ, ℚ)) の忠実性に起因する。
• クラインのボトルの基本群 K は左不変順序を4つしか持たず、Out(K) ≅ ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ であるため、自己同型群は LO(K) に忠実に作用できない。これは、余りがねじれを含まない冪零条件の必要性を示している。
• LO(G) は積位相における {0,1}^G の閉部分集合であり、正の錐を定義する条件はこの位相で閉じているため、LO(G) はコンパクト Hausdorff 空間である。