[論文レビュー] Faithful Semantical Embedding of a Dyadic Deontic Logic in HOL

Christoph Benzmüller, Ali Farjami+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Logic, programming, and type systems被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、CarmoとJonesの二項道徳論理（DDL）を古典的高階型論理（HOL）に忠実で、健全かつ完全な意味論的埋め込みを提示する。これにより、市販のHOL定理証明器を用いた自動推論が可能になる。埋め込みは、DDLの近傍意味論をHOLに浅く、型理論的翻訳するもので、正しさの形式的証明を伴い、DDLをHOLの自然な断片として確立するとともに、Isabelle/HOLにおけるDDL用の最初の定理証明器の実現を可能にする。

ABSTRACT

A shallow semantical embedding of a dyadic deontic logic by Carmo and Jones in classical higher-order logic is presented. This embedding is proven sound and complete, that is, faithful. The work presented here provides the theoretical foundation for the implementation and automation of dyadic deontic logic within off-the-shelf higher-order theorem provers and proof assistants.

研究の動機と目的

• 二項道徳論理、特にCarmoとJonesの反対義務条項を扱う論理に対して、機械的かつ自動化された推論支援の欠如に対処すること。
• 古典的高階型論理（HOL）としての、DDLの形式的で忠実な埋め込みを提供すること。
• 既存のHOL定理証明器および証明支援システムの再利用を通じて、道徳論理における自動推論を可能にすること。
• DDLに基づく規範的推論システムの実装と検証の理論的・実践的基盤を築くこと。
• DDLがHOLフレームワーク内で自然に形式化され、正しさと自動化が保証されるかを示すこと。

提案手法

• 浅い意味論的埋め込みにより、DDLの論理式がHOL内の単純型λ項に写像され、その意味的構造が保持される。
• 特に二項義務演算子 ⃝(ψ/ϕ) を含むDDLの近傍意味論が、可能な世界の集合上のHOL関数に翻訳される。
• DDLの主な意味的制約（例：空でないこと、共通部分集合に関して閉じていること、義務関数 ob に関する整合性条件）が、HOLにおける公理として符号化される。
• DDLのモデル理論的意味論が、HOLのヘンキンモデルと、HOLの解釈をDDLモデルに写像する構成を通じて正式に結びつけられる。
• 健全性と完全性は、DDL論理式 ϕ が妥当であることと、そのHOL翻訳 vld ⌊ϕ⌋ が埋め込み公理のもとでHOLにおいて妥当であることとが同値であることを示すことにより証明される。
• このフレームワークはIsabelle/HOLに実装され、DDL用の最初の利用可能な定理証明器を実証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複雑な規範的構造（例：反対義務条項）を有する二項道徳論理が、古典的高階型論理に忠実に埋め込まれるか。
• RQ2 元のDDL意味論に関して、その埋め込みの健全性と完全性を保証することは可能か。
• RQ3 この埋め込みを通じて、既存の高階型定理証明器がDDLにおける自動推論に効果的に再利用可能か。
• RQ4 特に世界の集合上の義務関数を含むDDLの意味的制約が、HOLにおいて形式的にどのように表現できるか。
• RQ5 埋め込みが、チシャルムの逆説などに影響されないDDLの論理的挙動を保持するか。

主な発見

• DDLをHOLへの意味論的埋め込みは、健全かつ完全である。すなわち、DDL論理式 ϕ が妥当であることと、そのHOL翻訳 vld ⌊ϕ⌋ が埋め込み公理のもとでHOLにおいて妥当であることとは同値である。
• 埋め込みは、二項義務の意味を忠実に保持しており、特に単項演算子 ⃝a(ϕ) と ⃝p(ϕ) は、実際の世界集合および可能な世界集合上のHOL関数として符号化されている。
• このフレームワークにより、市販の高階型定理証明器を用いたDDLにおける自動推論が可能となり、Isabelle/HOLへの実装で実証された。
• 完全性の証明は、埋め込み公理 AV、PV1、PV2、および OB1–OB5 を満たす任意のHOLヘンキンモデルから、対応するDDLモデルを構成することに依拠している。
• 埋め込みは浅く、型理論的である。λ抽象と高階関数を用いて集合や述語を表現し、コンprehension公理に依存しない。
• 本研究により、DDLは古典的高階型論理の自然かつ形式的根拠を持つ断片として確立され、道徳的推論システムの体系的形式的分析と検証が可能になった。