[論文レビュー] Fake weighted projective spaces

Weronika Buczyńska|ArXiv.org|May 8, 2008

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、特異点の1次元部分にまつわる基本群を特徴づけるトーリック幾何学的枠組みによって定義される、重み付き射影空間（wps）の一般化としての「偽重み付き射影空間」（fwps）を導入する。すべてのfwpsが、1次元部分にまつわる基本群が自明である場合に限り、重み付き射影空間に一致することを証明し、1次元部分における基本群が自明であるとき、かつそのときに限り、fwpsがwpsであることを確立する。この枠組みを用いて、有限個の点を除いて自由なℙ²への巡回群作用を分類し、その商が常にfwpsであることを示す。

ABSTRACT

We define fake weighted projective spaces as a generalisation of weighted projective spaces. We introduce the notions of fundamental group in codimension 1 and of universal covering in codimension 1. We prove that for every fake weighted projective space its universal cover in codimension 1 is a weighted projective space.

研究の動機と目的

• トーリック多様体としての一般化として、『偽重み付き射影空間』（fwps）を導入し、重み付き射影空間（wps）をより広いクラスに拡張すること。
• 正規トーリック多様体に対して、1次元部分における基本群（π₁¹）を新たな不変量として定義し、研究すること。
• π₁¹を用いて、fwpsが実際に重み付き射影空間である条件を特徴づけること。
• 有限個の点を除いて自由な巡回群ℤrのℙ²への代数的作用を分類し、その商が常にfwpsであることを示すこと。
• すべてのfwpsが、1次元部分における普遍被覆を一意に持ち、それが重み付き射影空間であることを証明すること。

提案手法

• 正規トーリック多様体に対して、通常の基本群を一般化した1次元部分における基本群（π₁¹）の概念を導入する。
• 1次元部分における普遍被覆を、1次元部分の局所系に同型を誘導するトーリック準同型として定義する。
• ミles・レイトの極小収縮に関する研究に基づくファング構成を用いて、fwpsの構造をファングの言語で分析する。
• 分離理論（ホイットニー分離）を用いて、Xが滑らかでcodim(V) ≥ 2のとき、π₁(X∖V) ≅ π₁(X)が成り立つことを証明する。
• ℙ²へのℤr作用の分類を、格子幾何とモノドロミーの問題に還元し、SL(3)における対角化と座標変換を用いる。
• PGL(3)の有限部分群の分類と重み付き射影空間の構造を用いて、商がfwpsとして特徴づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偽重み付き射影空間が、実際に重み付き射影空間であるための特徴は何か？
• RQ2 トーリック多様体に対して、1次元部分における基本群不変量をどのように定義できるか？
• RQ3 すべての偽重み付き射影空間は、1次元部分における普遍被覆をもつのか？その性質は何か？
• RQ4 ℙ²への巡回群の代数的作用で、有限個の点を除いて自由であるものはどれか？その商多様体は何か？
• RQ5 このようなすべての商多様体は、偽重み付き射影空間として実現可能か？

主な発見

• 偽重み付き射影空間が真の重み付き射影空間であるための必要十分条件は、1次元部分における基本群π₁¹が自明であることである。
• すべての偽重み付き射影空間は、1次元部分において一意な普遍被覆をもち、それは重み付き射影空間である。
• 有限個の点を除いて自由なℤr作用によるℙ²の商は、常に偽重み付き射影空間である。
• このような商は、(z₀:z₁:z₂) ↦ (z₀:ε^a z₁:ε^{a+1} z₂) の形の対角作用から生じる。ここでεは単位根であり、gcd(a,r)=gcd(a+1,r)=1を満たす。
• 1次元部分における基本群π₁¹は、トーリック特異点構造における「ねじれ」を検出でき、fwpsとwpsを区別する。
• GM88の分離および横断的定理を用いて、2次元部分の多様体を除いてもπ₁が変わらないことを正当化し、これはπ₁¹の定義に不可欠である。